Lorentz faktörünün hızla değişimi ve zaman genişlemesine etkisi

Lorentz faktörü neyi açıklar?

Lorentz faktörü veya Lorentz terimi, bir cismin herhangi bir hıza sahip olmadığı durumla bir hıza sahip olması sırasında kütle, zaman ve uzay ölçümlerinde oluşacak ölçüm farklılıklarını açıklayan bir niceliktir. Lorentz faktörü, referans çerçeveleri arasında dönüşüm yapılabilmesini sağlayan Lorentz dönüşümünden doğar. Faktör, Lorentz elektrodinamiği içindeki erken görünümü yüzünden Hollandalı fizikçi Hendrik Lorentz adına ithaf edilmiştir.

Lorentz faktörünün aynı anda her yerde bulunması nedeniyle, genel olarak γ (Yunanca küçük gama) sembolü ile gösterilmiştir. Faktör bazen (özellikle Işıktan hızlı hareketin tartışmasında) γ yerine çok daha çok Γ (Yunanca büyük-gama) olarak yazılır.

Matematiksel tanım ve değişkenler

Lorentz faktörü matematiksel olarak şöyle tanımlanır:

γ = 1 / √(1 − v²/c²) = 1 / √(1 − β²) = dt/dτ

burada v bağıl hızdır, c Işığın vakumda sahip olduğu hızdır (ışık hızı), β v’nin c’ye bölümüdür, t zaman koordinatıdır ve τ bir gözlemcinin kendi referans sisteminde gözlemlediği zaman aralığıdır (özel zaman). Bu, tanımlamanın sadece bir yolu olsa da, uygulamada en çok kullanılan formudur.

Tanımı tamamlamak için, bazı yazarlar şöyle tanımlar:

α = 1/γ = √(1 − v²/c²)

Zaman genişlemesi ve diğer sonuçlar

Lorentz faktörünün kullanımı özel görelilikte çeşitli formüllerde karşımıza çıkar. Lorentz dönüşümü, en basit durumda x-ekseninde referans çerçeveleri arasında düzgün doğrusal hareket (v) olduğunda bir eylemsiz referans çerçevesinden (x, y, z, t) diğer eylemsiz referans çerçevesine (x′, y′, z′, t′) göre uzayzaman koordinatlarının nasıl değiştiğini açıklar.

Bu dönüşümlerin sonuçlarından biri zaman genişlemesidir. Hareketen referans çerçevesindeki birim zaman (∆t′) hareketsiz referans çerçevesindeki birim zamandan (∆t) daha uzundur:

Δt′ = γΔt

Benzer şekilde uzunluk kısalması da ortaya çıkar. Bir cismin eylemsiz referans çerçevesine göre düzgün doğrusal hareket yaparken sahip olduğu birim uzunluk (∆x′) cismin eylemsiz referans çerçevesine göre hareketsiz olduğu zamanki birim uzunluğundan (∆x), kısadır. Cismin kendi durağan referans çerçevesinde de birim uzunluk ∆x olacağından hızlanan cisimlerin hız doğrultusunda kısalacağı söylenebilir:

Δx′ = Δx/γ

Momentum ve enerjinin korunumu şu sonuçlara yol açar. Göreli kütle: Cismin eylemsiz referans çerçevesine göre düzgün doğrusal hareket yaparsa sahip olacağı kütle m cismin durgun kütlesi m0’dan büyüktür:

m = γm₀

Göreli momentum: Göreli momentum ilişkisi klasik momentumla aynı formu alır fakat klasik kütle yeni göreli kütle kullanır:

p⃗ = mv⃗ = γm₀v⃗

Göreli kinetik enerji: Göreli kinetik enerji cismin hareket halindeyken sahip olduğu toplam enerjiden cisim hareketsizken sahip olduğu toplam enerjinin çıkartılmasına eşittir:

Ek = E − E₀ = (γ − 1)m₀c²

Hızın ışık hızına yaklaşması durumunda faktör

Lorentz faktörü (γ) v/c’nin bir fonksiyonu olduğundan, göreli olmayan limit lim(v/c → 0) Ek = ½m₀v² olarak bulunur. Bu, kinetik enerjinin klasik mekanikteki halidir.

Lorentz faktörü denklemi ayrıca şu şekilde tekrar yazılabilir:

β = √(1 − 1/γ²)

Lorentz faktörü denkleminin şu hali asimptotik bir biçime sahiptir:

β = 1 − ½γ⁻² − ⅛γ⁻⁴ − 1/16 γ⁻⁶ − 5/128 γ⁻⁸ + ⋯

Bu biçim, hızın ışık hızına yaklaşması durumundaki davranışı betimler. Ayrıca Lorentz faktörünün bir Maclaurin serisi vardır:

γ = 1 + ½β² + 3/8 β⁴ + 5/16 β⁶ + 35/128 β⁸ + ⋯

Lorentz faktörünü γ ≈ 1 + ½β² olarak almak düşük hızlarda göreli etkileri hesaplamak için kullanılabilir. v < 0,4 c (v < 120.000 km/s) için %1 hata payı ve v < 0,22 c (v < 66.000 km/s) için de %0,1 hata payı anlamına gelir. Bu dizinin kısaltılmış versiyonları fizikçilerin özel göreliliğin düşük hızlarda klasik mekaniğe indirgendiğinin kanıtlamasını sağlar.

Alternatif temsiller

Lorentz faktörünü yazmak için başka yollar da vardır. Yukarıda v hızı kullanıldı ama hız gibi momentum ve β da tanımlamak için uygundur. Göreli momentum formülünü Lorentz faktörü için çözmek şu formüle yol açar:

γ = √(1 + (p/m₀c)²)

Bu forma çok sık rastlanılmaz fakat Maxwell-Jüttner dağılımı bu formu kullanır.

Hız oranının (v/c) tanımının Hiperbolik açı φ ile yapılması:

tanh φ = β

Ayrıca γ (hiperbolik özdeşliklerin) kullanımı ile şuna yol açar:

γ = cosh φ = 1/√(1 − tanh²φ) = 1/√(1 − β²)

Bu açıklama Vikipedi kaynaklarından uyarlanmıştır ve şu lisans altında sunulur: CC BY-SA 4.0.