•Yüzey kavramının matematiksel temeli
Yüzey, matematikte ve özellikle topolojide iki boyutlu bir çokkatlı olarak tanımlanır. İki gerçel değişkenli ve gerçel değerli bir fonksiyonun üç boyutlu uzayda (R³) grafiği tipik bir yüzey örneği olarak verilir. Ayrıca العالم yüzeyi, bir yumurtanın kabuğu ve bir simit de yüzey sayılır.
Bir yüzeyin iki boyutlu bir çokkatlı olması, öncelikle onun belirli özellikleri sağlayan bir topolojik uzay olması anlamına gelir. Yüzevin verilen herhangi bir x noktası çevresinde, öyle bir komşuluk bulunabilir; bu komşuluk iki boyutlu uzayın bir parçasına benzer. Bu komşuluğa yama denir. Bu benzeme uyarınca, x çevresinde sağ-sol ve yukarı-aşağı kavramları iyi bir biçimde tanımlanabilir. Daha iyi bir deyişle, x’in çevresine bir koordinat sistemi döşenebilir. Böylece yüzey, bir düzlem parçası olmasa bile, x çevresindeki noktalar bir düzlemdeymiş gibi koordinatlara sahip olur.
Yüzeylerin kesin tanımı
İki boyutlu bir çokkatlıya yüzey denir. Daha ayrıntılı bir söyleyişle, kenarı olmayan topolojik bir yüzey, aşağıdaki koşulları sağlayan bir topolojik uzaydır: Hausdorff’tur; herhangi bir noktasının çevresinde öyle bir açık komşuluk bulunabilir ki bu komşuluk R²’nin açık bir alt kümesine homeomorfiktir. kimi tanımlarda ikinci sayılabilirlik özelliğini sağlar ve kimi tanımlarda parakompaktır.
Yukarıdaki tanımda ikinci koşulda R² yerine üst yarı düzlem konduğunda, bu tanım kenarı olan bir topolojik yüzey tanımına dönüşür. Bu durumda ikinci koşulda homeomorfizma sözcüğünün anlamlı olabilmesi için üst yarı düzlem üzerinde bir topoloji bulunması gerekir. Bu topoloji standart olarak R²’den tetiklenen topolojidir.
Kenarı olan bir yüzey, kenarı olmayan yüzeyden farklı olarak şu tür noktaları da vardır: noktanın yeterince küçük her komşuluğu, çapı yarı düzlemin en altında oturan bir yarım daireye homeomorfiktir. Noktanın R²’de açık bir bölgeye homeomorfik bir komşuluğu olması söz konusu değildir. Kenarlı yüzeylere örnek olarak düzlemde kapalı bir daire, kapalı bir eğriyle çevrelenmiş bir düzlem bölgesi ve açık bir dairesel parçası koparılmış bir simit gösterilir.
Yön ve sınıflandırma
Bir yüzeyin içinde bir Möbius şeridi varsa ve yüzeye gömülebiliyorsa, bu yüzeye yön verilemez denir. İçinde bir Möbius şeridi yoksa, böyle bir yüzeye yön verilebilir denir. Yön verilemez yüzeylere örnek olarak Möbius şeridi, gerçel izdüşümsel düzlem ve Klein şişesi verilir. Bunlardan Möbius şeridi kenarı olan bir yüzeyken, diğerleri kenarsız yüzeylerdir.
Matematiğin temel uğraşlarından biri sınıflamadır. Yukarıda soyut tanımı verilen yüzeylerin tümünü listelemek, topolojinin ilgilendiği bir sorudur. Bunu yaparken iki homeomorfik yüzey bir tutulur ve bunlar arasında ayrım gözetilmez. Örneğin bu listede içi boş bir küp ve bir küre birlikte görünmeyecektir; yalnızca biri listede yer alacaktır çünkü bu iki yüzey, R³’ten tetiklenen topolojileriyle birbirine homeomorfiktir.
Yüzeylerin sınıflandırılması problemi ilk kez August Ferdinand Möbius tarafından çalışılmış ve R³’te yatan yön verilebilir yüzeyler için 1870 yılında sonuç ilan edilmiştir. Max Wilhelm Dehn ve P. Heegard 1907 yılında üçgenlenebilir yüzeyler için tüm sınıflandırmayı vermiştir. Her topolojik yüzeyin üçgenlenebilir olduğunu 1925 yılında Tibor Radó ispatlayarak sınıflandırmayı sona erdirmiştir.
Bu sınıflandırmaya göre, tıkız, yön verilebilir, kenarsız yüzeyler şunlardan birine homeomorfik olmak zorundadır: Bir küre (S²), bir simit (T²) veya çift delikli bir yüzey (F²). Listede sırasıyla 3, 4, 5, … delikli yüzeyler yer alacaktır. Tıkız, yön verilebilir, kenarsız S adlı bir yüzey için 2 − 2g sayısı yüzeyin Euler sayısına eşittir. Yön verilemez yüzeyler için sınıflandırmaysa temelde aynı olmasına karşın, söz konusu yüzeylere daha az aşinayız. Tıkız, yön verilemez, kenarsız yüzeylerin en basiti gerçel izdüşümsel düzlemdir. Dolayısıyla, tıkız ve kenarsız bir yüzeyin Euler sayısını ve yön verilebilir olup olmadığını söylemek, yüzeyi anlatmaya yeter.
Bu açıklama Vikipedi kaynaklarından uyarlanmıştır ve şu lisans altında sunulur: CC BY-SA 4.0.
تعليق واحد
طور فكرتك بمصدر أو سؤال أو وجهة نظر بناءة.