16. Yüzyılda Bir Korsanın Tesadüfen Ortaya Çıkardığı, Asırlardır Çözülemeyen Matematik Sorusu

5 min okuma

16. yüzyıldaki bir korsanın tesadüfen doğurduğu yüzyıllık matematik sorusu

Sir Walter Raleigh’nin toplar hakkında sorduğu bir soru, matematisyenlerin yüzyıllardır çözmeye çalıştığı bir bulmacaya yol açtı

16. yüzyılda denizlerde sefer eden Sir Walter Raleigh hakkında görüşler oldukça çeşitlidir. Yetenekli bir kaptan ve kaşif miydi, yoksa dalgaları kasıp kavuran kanlı bir korsan mı? Bir efsaneye göre Raleigh, o kadar soyluydu ki paltosunu Queen Elizabeth’in ayaklarını çamura bulamaması için bir çamur birikintisine bıraktı. Ancak çok az bilinen şey, basit bir soruyla bugün uzmanların hala şaşkına çevirdiği bir matematik alanını derinden etkilemiş olmasıdır.

Seferleri sırasında Raleigh’nin gemileri, düşman saldırılarına karşı korunmak için gemide toplar taşırdı. Kaç tane olduğunu bir bakışta hızlıca öğrenmek istediği için bilimsel danışmanı Thomas Harriot’a göründüğü kadar basit görünen bir görev sundu: yığındaki topların sayısını hesaplamak. Harriot, alt sıradaki sayıya göre bir kare piramit şeklinde dizilen topların sayısını veren kullanışlı bir formül hızla buldu ve Raleigh’ye tatmin edici bir çözüm sunabildi.

Ancak Harriot, bu dizilimin gerçekten mümkün olan en sıkı küre dizilimi olup olmadığını merak etti. Ya göz önünde bulundurulacak sonsuz sayıda top varsa? 1606’da Harriot, bu soruyu astronom Johannes Kepler’e yazdığı bir mektupta anlattı. Beş yıl sonra bilim insanı, tarihe Kepler’in varsayımı olarak geçen bir hipotezi yayımladı. En sıkı küre dizilimini oluşturmak için ortada bir küreyle başlar ve tüm bir düzlemde tekrarlanabilecek bir altıgen desen oluşturmak için etrafına altı tanesini daha eklersiniz. Ardından ikinci bir katman, küreleri ortaya çıkan boşluklara yumurta paketi gibi yerleştirerek oluşturulur. Üçüncü katman birinci katma karşılık gelir ve dizilim böyle devam eder. Kepler, böyle bir yığınlanma sonucu oluşan boş alanın ne kadar olduğunu hesaplayabildi: yaklaşık yüzde 26.

Astronom Johannes Kepler’in bu küre diziliminin mümkün olan en sıkı paketlemeye yol açacağını öne sürmüştü.

Amanda Montañez

Sınırlı sayıda kürenin çok daha verimli bir şekilde dizilebileceğini belirtmek gerekir; örneğin sosis gibi ardışık olarak sıralanabilirler. Ancak Kepler’in konusu, üç uzaysal boyutta sonsuz sayıda küre etrafında dönüyordu. Kepler’in incelediği diğer dizilimler daha büyük boşluklar üretiyordu.

1773’te fizikçi ve matematikçi Joseph Louis Lagrange, iki boyutta altıgen dizilimin gerçekten de en çok alan verimli olduğunu kanıtladı. Yaklaşık %90 yoğunluğa yol açar, yani yalnızca %10 boş alan kalır. 1831’de ise olağanüstü matematikçi Carl Friedrich Gauss, kürelerin yalnızca düzenli örgülerde dizildiği varsayıldığında Kepler’in öne sürmesinin doğru olduğunu kanıtlayabildi. Bu durumda, ilk birkaç küreyi uzayda konumlandırmak ve geride kalan tüm küreleri aynı düzene göre dizmek mümkündür.

Gauss, daha da yoğun ve daha kaotik bir dizilimin mümkün olamayacağını söyleyemedi. Bu olasılık sorunu oldukça zorlaştırır, çünkü bu durumda her küre her yere—sadece ilk birkaç nesne değil—konumlandırılabilir. Bir sonraki önemli atılım için yüzyıldan fazla bir süre geçecekti.

Sonsuz sayıda durumın denenemeyecek olması nedeniyle Kepler’in öne sürmesi, yalnızca sınırlı sayıda dizilimin ilgili olduğu bir soruna indirgenmeliydi. 1953’te Macar matematikçi László Fejes Tóth, bunun gerçekten mümkün olduğunu kanıtladı. Temel fikir, üç boyutlu uzayı sonsuz sayıda bölgeye ayırmak ve Kepler diziliminin tüm bölgelerde en yoğun olduğunu kanıtlamaktır—çünkü böylece tüm uzayda en yoğun olur.

Daha spesifik olmak gerekirse, Fejes Tóth, kürelerin merkezini temsil eden noktalar oluşturduğu—her birinin bir kürenin çapı kadar uzakta olduğundan emin olduğu—bir tür diyagram kullandı ve ardından komşu noktalar arasındaki her noktanın tam ortasında sınırlar çizerek ayrı ayrı hücrelerden bir dizi oluşturdu. Bu denli adlandırılan Voronoi hücrelerinin, Fejes Tóth’un varsayımına göre, yarıçapı 1 olan bir küreyi saran düzgün rombododekahedrondan hacimce en az büyük olması gerekiyordu. (Rombododekahedron, Kepler’in varsayımındaki en verimli küre paketlemesinden ortaya çıkan şekildir.) Ardından 13’ü aşmayan hücreleri göz önüne alarak yeni bir problem formüle etti: Voronoi hücrelerinin hacminin her zaman rombododekahedronlarınkinden büyük olduğu gösterilebilseydi, Kepler’in varsayımı doğru olacaktır.

Fejes Tóth, sonsuz sayıda olasılığı tarayıp karşılık gelen paketleme yoğunluğunun her zaman Kepler’in öne sürdüğınden düşük olup olmadığını kontrol etmek yerine, yalnızca sonlu sayıda durumu inceleyecek bir yol önermişti. Yine de sınanması gereken dizilim sayısı büyüktü—insan gücünün tek başına yapabileceğinin ötesinde. İş, 1992 yılında Amerikalı geometrist Thomas Callister Hales bir bilgisayar kullanarak problem üzerinde çalışmaya başlayana kadar ilerlemedi. Hales, öğrencisi Samuel Ferguson ile birlikte, Fejes Tóth’un ön çalışmalarına dayanarak Kepler’in varsayımını kanıtlamak için çok sayıda durumu nasıl işleyebileceğini aradı. 5.000’den fazla farklı küre dizilimini incelediler ve paketleme yoğunluklarının Kepler’in öne sürdüğünden düşük olduğunu gösterdiler; bu, bir bilgisayarın çözmesi yaklaşık 100.000 problem gerektiren bir görevdi. Tam uygulama dört yıl sürdü.

Hales, sonunda 250 sayfalık kanıtı ve üç gigabaytlık bilgisayar dosyalarını 1998 yılında saygın Annals of Mathematics dergisine sundu. Hakemler kanıtı incelemek için dört yıl daha harcadılar ve doğruluğundan %99 emin olduklarını belirttiler.

Bu güven yayıma yeterli olsa da, Hales yine de memnun değildi. Bir hata yaptığını ya da özel bir durumu gözden kaçırdığını düşündü. Bu nedenle 2003’te hesaplamalarının bir bilgisayar destekli ispat yardımcısı tarafından kontrol edilmesini sağlamak için Kepler’in Formel İspatı anlamına gelen FPK kısaltmasından türetilen Flyspeck projesini başlattı. Projeyi tamamlamak 11 yıl aldı; ancak bilgisayarlar Hales’in çalışmalarını tamamen doğruladı ve ispatın doğru olduğunu tespit etti.

Sir Raleigh’nin özgün sorusuyla problemin tam çözüm arasında 400 yılı aşkın bir süre geçti. Ancak yoğun küre paketlemeye ilişkin gizemler hâlâ var; özellikle bu soruyu daha yüksek boyutlarda düşündüğünüzde. Microsoft’ta bir matematikçi olan Henry Cohn, 2016’da Scientific American’a şunları söylüyordu: “Küre paketleme problemini sevmemdeki sebeplerden biri, her boyutun kendi kendine has özelliklerine sahip olması… Bazı boyutlar diğerlerinden çok daha iyi davranıyor.”

Bu makale ilk olarak Spektrum der Wissenschaft dergisinde yayımlandı ve izniyle yeniden yayınlandı. Orijinal Almanca metinden yapay zekânın desteğiyle çevrildi ve editörlerimiz tarafından gözden geçirildi..

Scientific American Baş Editörü