Fermat Prensibi: Işığın Neden En Az Süre Alan Yolu Tercih Ettiği

Autor / Editor: Barış Özdemir•15 Ekim 2026

✓ Verificado editorialmente

Işğın Yolunu Belirleyen General Bir Prinsip

Fermat ilkesi, Fermat prensibi ya da en az süre prensibi olarak da bilinen bu kavram, Pierre de Fermat tarafından ışık yollarının belirlenmesi için kullanılabilen genel bir ilkedir. Fermat ilkesine göre bir ışık ışını herhangi iki nokta arasında ilerlerken, izlediği yol en az zamanı gerektiren yoldur.

Bu prensip bazen ışık demetinin tanımı olarak görülür. Ancak bu tanım genel değildir; ışık demetleri yolun değişkenlerine bağlı olan sabit optikal uzunluğu kateder tanımı daha modern bir tanımdır. Bir başka deyişle, bir ışık demeti iki yanında başka yolların da olduğu neredeyse aynı sürede alabileceği bir yol tercih eder.

Principin Uygulama Alanları

Fermat ilkesi, aynadan yansıtılan ışığın, farklı ortamlarda kırılan ışığın ya da süregelen toplam iç yansımalardan oluşan ışığın özelliklerini tanımlamak için kullanılabilir. Fermat ilkesi, Huygen prensibi tarafından matematiksel olarak takip edilir (küçük dalga boyları sınırında). Fermat’ın Analyse des réfractaions Snell yasası ve yansıma yasasını elde etmek için yeterlilik tekniğinden yararlanır. Fermat prensibi Hamilton prensibi ve Hamiltonian optiğiyle aynı forma sahiptir.

Modern Versiyon ve Matematiksel İfade

Elektromanyetik dalganın A ve B noktaları arasındaki yolu alması için geçen süre olan T şu şekilde ifade edilir:

T = ∫(A’dan B’ye) dt = (1/c)∫(A’dan B’ye) (c/v)(ds/dt) dt = (1/c)∫(A’dan B’ye) n ds

Burada “c ışık vakumdaki hızıdır”, “ds ışın üzerinde son derece küçük uzaklıktır”, v = ds/dt bir madde içindeki ışığın hızı ve n = c/v bu maddenin kırıcı dizini. Bir ışının A noktasından B noktasına olan optiksel uzunluğu şöyle tanımlanır:

S = ∫(A’dan B’ye) n ds

Ve bu alınan yol ile ilgili S = cT şeklinde ilgilidir. Optiksel yol uzunluğu tamamıyla geometrik niceliktir çünkü zaman optiksel yolun hesaplamalarında düşünülmez. A ve B noktaları arasında yol alan ışğın zamanındaki bir uç değer, bu noktalar arasındaki bir uç değerine eşittir.

Fransız matematikçi Pierre de Fermat tarafından önerilen tarihsel formu tamamlanmamıştır. İki sabit A ve B noktaları arasında ışık tarafından takip edilen yolun optiksel uzunluğu bir uç değer cümlesi varyasyonları olan Fermat prensibinin modern ve tam cümlesidir. Optiksel uzunluk fiziksel uzaklık çarpı maddenin yansıtıcı dizini olarak tanımlanır. Değişkenlerin hesabının varyasyonlarının içeriğinde bu şöyle yazılabilir:

δS = δ∫(A’dan B’ye) n ds = 0

Genelde, yansıtıcı dizin uzayda bir sayısal alan pozisyonudur: n = n(x₁, x₂, x₃) 3D euclidean uzayında. Fermat prensibi şimdi şöyle yazılabilir:

δS = δ∫(x₃A’dan x₃B’ye) n(x₁, x₂, x₃)√(1 + ẋ₁² + ẋ₂²) dx₃ = δ∫(x₃A’dan x₃B’ye) L(…) dx₃ = 0

Bu aynı zamanda Hamilton prensibiyle aynı forma sahiptir fakat x₃ klasik mekanikte zamanın rolünü alır. L(x₁, x₂, ẋ₁, ẋ₂, x₃) fonksiyonu Lagrangian ve Hamiltonian’un geometrik optik formulasyonlarından türetilebilen optiksel Lagrangiardır.

Kökler ve Kuantum Anlamı

Klasik olarak Fermat’ın prensibi Huygen prensibinin matematiksel sonucu olarak düşünülebilir. Gerçekte, uç noktaları olan sabit yollara sahip bütün ikincil dalgalar (bütün muhtemelen yollar boyunca) yapıcı girişimler etkisiyle katkı sağlar. Işığın A’dan B’ye başta tüm muhtemel geometriksel ve fiziksel optik kurallarıyla sınırlanmamız güzergahlarda türediğini varsayalım ABⱼ. Çeşitli optiksel yollar ABⱼ fazla olan dalga boyu miktarıyla birlikte değişecektir ve B’ye ulaşan dalga daha fazla çeşitli aşamaya sahip olacaktır ve yıkıcı bir şekilde karışmaya daha eğilimli olacaktır.

Fakat eğer kısa bir rota AB₀ varsa ve optiksel yol bu yol üzerinde düzgünce değişiyorsa, AB₀’ye yakın önemli sayıda komşu yol AB₀’den sadece ikinci sıra miktarı olarak farklı optiksel yollara sahip olacaktır, bu yüzden yapıcı şekilde karışacaklardır. Bu kısa rotaya yakın ve bu rota boyunca olan dalgalar hakim olacaktır ve AB₀ ışığın aldığı yol olacaktır.

Herhangi parçacık (örneğin proton ya da elektron) bütün mevcut olan kapatılmış yollar üzerinde türediğini ve dalga fonksiyonun bütün bu yollar üzerinde girişimi (toplam ya da superpozisyon) bu parçacığın olası doğru algılamalarını verdiğini anlatan Fermat prensibi kuantum elektrodinamiğinin başlıca prensibidir. Böylece, uç yollar (en kısa, en uzun ya da sabit) bu girişime birbirlerine sıfırlamadan yapabilecekleri en çok şekilde katkı sağlarlar. Dalgaların klasik mekaniğinde Fermat prensibini mekaniğin ekstremum prensibi takip eder.

Tarihsel Gelişim

Hero of Alexandria (Heron) (c. 60) A noktasından B noktasına giden bir ışık demeti birçok düz ayna yansımalarına uğrar ve aynı ortamda yakınındaki herhangi bir yoldan küçük bir yola sahip olduğunu anlatan yansıma prensibini tanımladı.

İbnü’l-Heysem, Book of Optics (1021) adlı kitabında, yansıma ve kırınım prensiplerini genişletti ve en kısa süre prensibinin ilk versiyonunu ifade etti. Onun deneyleri Yunan bilim insanı Ptolemy’nin yansıma üzerindeki çalışmalarına dayanıyordu.

En az süre prensibinin genelleştirilmiş hali Fermat tarafından yazılan 1 Ocak 1662 tarihli bir mektupta Cureau de la Chambre’ye beyan edildi. Mayıs 1662’de bu mektup optik alanında uzman olan ve o sıralar kartezyen için sözcülere öncülük eden Claude Clerselier’in itirazlarına maruz kaldı. Clerselier şunu ifade eder:

“Fermat prensibi bir neden olamaz, aksi hali olduğu halde biz bilgiyi doğaya atfetmiş olurduk ve bu durumda doğa sayesinde bizi yasallık ve dünyadaki bilgi dahilinde olmayan ve bir seçenek olmayan düzenin gerekli bir belirleme olduğunu anlıyoruz.”

Gerçekte, Fermat ilkesi tek başına var olamaz, Fermat prensibi Huygen prensibinden türetilebilir. Tarihsel olarak, Fermat ilkesi fiziksel yasaların değişken hesaplarına rehberlik eden bir prensiptir.

Bu açıklama Vikipedi kaynaklarından uyarlanmıştır ve şu lisans altında sunulur: CC BY-SA 4.0.