Helmholtz Dalga Denklemini Çözmek İçin Yeni Kaydırmalı Laplasyen Ön Durumlandırıcı

ÖZET

Kaymalı Laplasyen operatörü, çoklu ağ (multigrid) yöntemleriyle birleştirildiğinde 3B Helmholtz denkleminin çözümü için yaygın olarak önkoşullandırıcı olarak kullanılmaktadır. Ancak etkinliği, çözüm frekansının artmasıyla azalmaktadır. Kaymalı Laplasyen operatörünün performansını artırmak amacıyla, önkoşullandırıcının etkinliğinin tek bir grid (ağ örneği) tarafından soğurulan sismik dalga enerjisinin yüzdesiyle ilişkili olduğu görüşünü öne sürüyoruz. Bu varsayım doğrultusunda, dalga denklemi teorisinden elde edilen çözüm temelli yeni bir kaymalı Laplasyen önkoşullandırıcı türettik. Ardından, yeni Kaymalı Laplasyen önkoşullandırıcı ile entegre edilmiş bir V-döngüsü çoklu ağ yöntemi kullanarak ve düzleştirici operatör olarak genelleştirilmiş en küçük artıklık (GMRES) yöntemini uygulayarak 3B Helmholtz denklemini çözdük. Yeni önkoşullandırıcının etkinliğini doğrulamak için dalga denkleminin sayısal çözümleri analitik çözümlerle karşılaştırılmış ve bu karşılaştırma, 3B Helmholtz denkleminin çözümünde yinelemeli yöntemin etkinliğini teyit etmiştir. Ayrıca, üç yaygın 3B model üzerinde deneyler gerçekleştirdik. Sayısal sonuçlar, düşük frekanslarda optimize edilmiş Kaymalı Laplasyen operatörünün, orijinal operatörle benzer hesaplama süreleri sağladığını göstermektedir. Orta ve yüksek frekanslarda ise yeni Kaymalı Laplasyen operatörü, hesaplama süresini belirgin biçimde azaltarak 3B Helmholtz denkleminin çözümünde artırılmış performansını teyit etmektedir.

1. GİRİŞ

Helmholtz denklemi, göç ve tam dalga formu tersine çevirme işlemleri için kritik öneme sahip olduğundan, çözümünün verimliliği ve istikrarı büyük önem taşımaktadır (Plessix, 2007). Çözümler, uygulama yöntemine göre zaman alanı (Tarantola, 1984; Komatitsch ve Martin, 2007; Chen ve ark., 2022) ve frekans alanı (Pratt, 1999; Jo ve ark., 1996; Chen, 2012; Hu ve ark., 2011) yaklaşımları olarak sınıflandırılır. Frekans alanı yöntemi öne çıkan avantajlar sunar: viskozite terimlerinin kolayca dahil edilmesini sağlar (Xuejun ve ark., 2020), ayrık frekanslar boyunca paralel hesaplamayı kolaylaştırır ve çok ölçekli tersine çevirme için doğası gereği uygun olup böylece yüksek pratik uygulama değeri taşır.

Sonlu fark teorisini kullanarak, frekans alanı yaklaşımının Helmholtz denklemini çözme zorlukları, karmaşık seyrek doğrusal denklem sisteminin çözümüne indirgenir.

Doğrusal denklemler iki temel yaklaşımla çözülebilir: doğrudan yöntemler ve yinelemeli yöntemler. Frekans alanında Helmholtz denkleminin ayrık empedans matrisinin kaynak teriminden bağımsız olması nedeniyle, alt-üst (LU) ayrışımı gibi doğrudan yöntemlerle (Kincaid ve Cheney, 2009) çözülebilir. Birden fazla kaynağa sahip modellerde, LU ayrışımından elde edilen üst ve alt üçgensel matrisler yeniden kullanılabilir ve böylece verimli çok kaynaklı ileri modelleme sağlanır. Ancak doğrudan yöntemler, özellikle 3D Helmholtz denklemi için önemli ölçüde bellek gerektirir ve bu da bellek yükünü artırır. LU ayrışımı süreci seyrek matrislerin içinde dolgu oluşumuna yol açarak orijinal seyrekliklerini bozar ve bellek gereksinimlerini önemli ölçüde artırır (Oosterlee ve ark., 2009). Bu nedenle, geleneksel bilgisayarlar genellikle frekans alanında 3D Helmholtz denkleminin çözümüne yönelik bellek gereksinimlerini karşılamakta zorlanır. Öte yandan, yinelemeli yöntemler doğrudan yöntemlere göre daha az bellek gerektirebilir. Yinelemeli yöntemlerle doğrusal denklemleri çözmek için çözüm için bir başlangıç tahmini yapılır ve ardından istenilen hata ölçütlerini karşılayan yaklaşık bir çözüm elde edilene kadar ardışık yinelemelerle iyileştirilir. Yaygın yinelemeli yöntemler şunları içerir: (1) Krylov altuzayı yöntemleri, örneğin genelleştirilmiş minimum artık (GMRES) yöntemi (Saad, 2003); ve (2) eşlenmiş gradyan yöntemi temelli çözücüler, örneğin çift eşlenmiş gradyan kararlılaştırılmış yöntem (Zhao ve Wang, 2012). Ancak bu yöntemler, Helmholtz denklemine doğrudan uygulandığında genellikle yavaş yakınsama yaşar veya tamamen yakınsamayı başaramaz. Bu sorunları aşmak için temel bir strateji önkoşullandırmadır. Verimli bir önkoşullandırıcı, yinelemeli çözümün yakınsamasını ve kararlılığını önemli ölçüde artırabilir.

Lang ve Ren (2015), karmaşık doğrusal denklem sistemini gerçek doğrusal bir sistem dönüştürmüş ve tamamlanmamış döndürülmüş blok üçgen önkoşullandırıcıyı (Lang ve Ren, 2015) tanıtmıştır. Helmholtz denklemine yaklaşık analitik ayrıklaştırma yöntemini uygulamışlardır (Lang ve Yang, 2017). Sayısal deneyler, tamamlanmamış döndürülmüş blok üçgen önkoşullandırıcının, tamamlanmamış LU önkoşullandırıcıdan (Gander ve Nataf, 2005) ve karmaşık kaydırmalı önkoşullandırıcıdan (Laird ve Giles, 2002) daha iyi performans gösterdiğini göstermiştir. Ancak Lang ve Ren’in (2015) çalışmasının bir sınırı, sayısal simülasyonların yalnızca iki boyutlu modeller üzerinde gerçekleştirilmesi ve sonuçların üç boyutlu durumlara yayılabileceğinin belirsiz kalmasıdır (Lang ve Ren, 2015). Ayrıca çalışma, kaydırılmış Laplasyen önkoşullandırıcının yakınsamasını tamamlanmamış döndürülmüş blok üçgen önkoşullandırıcının yakınsamasıyla karşılaştırmamıştır. Li ve ark.’nın (2023) daha güncel çalışması, hızlı sinüs dönüşümüne dayalı bir önkoşullandırıcı yöntem önermiştir (Li ve ark., 2023). Benzer şekilde Heydari ve ark.’nın (2023) çalışması, Helmholtz denklemini dik kaydırılmış Chebyshev polinomlarını kullanarak çözülebilir bir cebirsel sisteme dönüştürmüştür (Heydari ve ark., 2023).

Erlangga ve arkadaşları (2004), Helmholtz denkleminin çözümünde kaymalı Laplasyen önkoşullandırıcıyı önermiştir (Erlangga et al., 2004; ). Kaymalı Laplasyen operatörü, empedans matrisine bir kayma faktörü ekler ve Helmholtz denkleminin çözümünü hızlandırmak için önkoşullandırıcı olarak çoklu çözgel yöntemlerle yaygın olarak kullanılır. Bu temele dayanarak Airaksinen ve arkadaşları (2007), cebirsel çoklu çözgel tekniklerine dayanan bir kaymalı Laplasyen önkoşullandırıcı tanıtmış ve bu yaklaşım karmaşık akustik saçılma problemleri için özellikle uygun bulunmuştur (Airaksinen et al., 2007). Ardından Gander ve arkadaşları (2015), dalga numarasına bağlı kaymalı Laplasyen operatörü üzerine niteliksel bir çalışma yapmış (Gander et al., 2015) ancak optimal kaymanın nasıl belirleneceğine dair bir çözüm sunmamıştır. Farklı bir yaklaşımda (Gander and Nataf, 2005), Silva ve Herrmann (2019) doğrusal denklemin çözümünde çok seviyeli GMRES (ML_GMRES) yöntemini önermiştir (Silva and Herrmann, 2019). ML_GMRES, kaymalı Laplasyen önkoşullandırıcı ile uyumlu olmadığı için önkoşullandırıcı olarak doğrudan orijinal sistem matrisini kullanır. ML_GMRES, 12 ızgara noktasına sahip bir dalga alanı için hızlı yakınsama sağlasa da, frekans değiştiğinde yineleme süresi artar. Yakınsamayı daha da artırmak için Liu ve arkadaşları (2020), karmaşık kaymalarla doğrusal denklemleri çözerek belirli değişmez altuzaylar için yaklaşık çözümler üretmek üzere spektral projeksiyon ve polinom önkoşullandırıcıyı kullanmış ve GMRES yineleme hızını hızlandırmıştır (Liu et al., 2020). Bunun ardından Xu ve arkadaşları (2021), yüksek frekanslı hesaplamalarda ML_GMRES’in yavaş yakınsamasını gideren yeni bir önkoşullandırıcı tanıtmıştır. Ancak önerilen önkoşullandırıcı deneyimsel sonuçlardan türetilmiş ve yeterli teorik gerekçeden yoksundur. Alternatif olarak Drzisga ve arkadaşları (2023), optimal karmaşık kaymayı seçmek için veriye dayalı bir yöntem önermiş ve böylece hesaplama maliyetini etkili biçimde azaltmıştır (Drzisga et al., 2023). Bu avantajlara rağmen, bu yöntem büyük sayıda örnek üretmeyi ve doğrusal regresyon analizini gerektirdiği için karmaşıklığı artırmaktadır. Daha yakın zamanda Pulch ve Sète (2024), yineleme sayısını azaltan ortalama önkoşullancıyı tanıtmıştır

kıyaklaşım için gereklidir (Pulch ve Sète, 2024). Eşzamanlı olarak Lin ve ark. (2024), karmaşık kaymalı Laplusiyen sistemini 2×2 bloklarlı reel doğrusal bir sisteme dönüştüren ve hızlı tersinme için hızlı sinüs dönüşümünü kullanan, mutlak değere dayalı yeni bir önkoşullandırıcı önermiştir (Lin ve ark., 2024).

Bu makalede, kaymalı Laplusiyen önkoşullandırıcısının 3B Helmholtz denklemi çözmedeki performansının, birebir ızgara tarafından soğurulan enerjinin oranıyla ilişkili olduğu öne sürülmüştür. Bu varsayım temelinde, yeni bir önkoşullandırıcı türetilmiştir. Makalenin geri kalanı aşağıdaki gibi yapılandırılmıştır. Bölüm 1, seyrek doğrusal sistemlerin formülasyonunu açıklar. Bölüm 2, çok ızgara teorisini tartışır ve yeni kaymalı Laplusiyen önkoşullandırıcısının türetilini ayrıntılı biçimde ortaya koyar. Bölüm 3, yeni önerilen önkoşullancıyı üç tipik model üzerinde sayısal simülasyonlarla geçerlilik açısından doğrular. Sayısal sonuçların karşılaştırmaları, yeni önkoşullandırıcının 3B Helmholtz denklemi çözmedeki etkinliğini göstermektedir.

2 Yöntem

Üç boyutlu frekans alanı Helmholtz denklemi şu biçimde ifade edilebilir:

Bu bağlamda, koordinatlarında frekans alanında dalga alanı değerini gösterir. Sembol açısal frekansı, ise modelin hız parametresini ifade eder. Terimi Dirac delta fonksiyonudur ve frekans alanında kaynak terimini temsil eder. Koordinatları, sismik kaynağın konumunu belirtir.

Helmholtz denkleminin kararlı sayısal çözümlerine ulaşmak için bu çalışmada altıncı mertebe sonlu fark şeması benenmiştir. Bununla birlikte, sonlu fark ayrıklaştırma sürecinin daha açık biçimde sunulması için dalga denkleminin çözüm işlemini göstermek amacıyla ikinci mertebe sonlu fark formülasyonu kullanılmıştır. Dalga denkleminin (Denklem 1) ikinci mertebe sonlu fark formu, aşağıdaki gibi ayrıklaştırılıp şu biçimde temsil edilebilir: burada, konumdaki dalga alanı değerini; , ve yönlerindeki ızgara açıklıklarını; ise ayrıklaştırılmış ızgara içindeki sismik kaynağın konumunu gösterir.

Helmholtz denkleminin ileri yönlü modellemesi yapılırken, simüle edilen modelin sonsuz büyük olamaması nedeniyle model kenarlarından yansımaları ortadan kaldırmak için modelin kenarlarına soğurucu sınırlar eklenmelidir. Bu makale, kenar yansımalarını en aza indirmek için karmaşık frekans kaydırmalı mükemmel eşleşen katman (PML) soğurucu sınırı (Roden ve Gedney, 2000; Zhao ve Chen, 2019) kullanmaktadır. Karmaşık frekans kaydırmalı PML soğurucu sınırının Helmholtz denklemine entegre edilmesiyle, güncellenmiş denklem şu şekilde ifade edilebilir: burada

Bu bağlamda, genellikle ve varsayılmaktadır. Burada ω açısal frekansı, L ise PML’in toplam kalınlığını, f0 sismik dalga paketinin baskın frekansını ve σ ise sönümleme fonksiyonunu ifade etmektedir. Sönümleme fonksiyonu için birkaç olası biçim bulunmaktadır ve bu makale aşağıdaki belirli biçimi benimsemektedir:

Hesaplama alanının sınırı ile gösterilmektedir. Denklemler 4 ve 5’in 3. denkleme yerleştirilmesi ve 2. denklemdeki ile aynı ayrıklaştırmanın kullanılmasıyla, 3. denklem matris biçiminde şu şekilde ifade edilebilir: burada Z empedans matrisini, b ise n’in vektör biçimini ve x ise n’in vektör biçimini göstermektedir. Soğurucu sınırların etkisi nedeniyle matris Z simetrik olmayan karmaşık bir matris haline gelmektedir. 3 boyutlu Helmholtz denklemi genellikle yinelemeli çözücülerle çözülmekte ve önkoşullandırma yakınsamayı artırmak için yaygın bir stratejidir. Yaygın önkoşullandırıcılar arasında Eksik LU ayrıştırması önkoşullandırıcısı ile simetrik ardışık aşırı gevşeme önkoşullandırıcısı yer almaktadır. 3 boyutlu Helmholtz denkleminin çözümünü hızlandırmak için popüler bir yaklaşım, kaydırmalı Laplasian operatörünü çoklu ağ yöntemleriyle birleştirmektedir. Bu amaç için sık kullanılan çözücüler arasında GMRES yöntemi ve eşleşik eğim eğilim stabilize yöntemi yer almaktadır.

Denklemin 6’sı sağdan önkoşullandırılabilir ve Denklemler 7, 8 biçiminde ifade edilebilir. Burada önkoşullandırıcı matrisi temsil eder. Etkili önkoşullandırmının anahtarı, uygun bir önkoşullandarıcı matrisi inşa etmektedir. İdeal olarak, önkoşullandarıcı matrisi orijinal matrisi 7 yakından benzetmeli, ancak hesaplaması açısından verimli çözülebilir olmalıdır.

2.1 Çoklu ağ metodu

3B’de ağırlıklı daraltma operatörü Denklemin 9’u biçiminde ifade edilir. Burada, p, pğiz ağdaki sismik dalgaların dalga alanını temsil ederken, pğğiz ağdaki sismik dalgaların dalga alanını gösterir. Ağ, çoklu seviye kalınlaşmasına tabi tutulabilir ve bu da özyinelemeli bir süreç ortaya çıkarır. Hesaplama süreci Algoritma 1’de özetlenmiştir.

Algoritma 1

• 1: Girdi:

• 2: Ön düzeltme:

• 3: Artımı elde et:

• 4: Kalınlaştır:

• 5: eğerise

• 6:    Çöz:

• 7: değilse

• 8:    Özyineleme:

• 9: Düzelt:

• 10: Son düzeltme:

• 11: Döndür:

• 12: Çıktı:

Çoklu ağ metotları genellikle Poisson denklemlerini çözmekte etkilidir. Ancak, doğrudan Helmholtz denklemine uygulamak, denklemlerin farklı doğası ve soğurucu sınırların etkileri nedeniyle kararsızlığa yol açabilir. Çoklu ağ metotlarının hızlı yakınsamasından yararlanmak için, bunlar Helmholtz denkleminin çözümünü hızlandırmak için önkoşullandarıcı olarak kullanılabilir. Ancak, kaymalı Laplasyen operatörü çoklu ağ metotlarıyla birleşip önkoşullandarıcı olarak kullanıldığında, aynı doğruluğu korurken bile iterasyon sayısı genellikle daha yüksek çözüm frekanslarıyla artar. Kaymalı Laplasyen operatörünün Helmholtz denklemini çözmedeki performansını iyileştirmek için bu makale, etkinliğinin tek bir ağdaki enerji zayıflamasının yüzdesiyle ilişkili olduğunu öne sürmektedir. Bu zayıflama parametresi kontrol edilerek, kaymalı Laplasyen önkoşullandarıcının performansı artırılabilir.

2.2 Yeni bir kaymalı Laplasyen önkoşullandarıcı

Erlangga ve arkadaşları (2004), 3 boyutlu Helmholtz denkleminin çözümünde geniş uygulama bulan kaymalı Laplasian önkoşullandırıcıyı önermiştir. Kaymalı Laplasian operatörü şu şekilde ifade edilebilir: burada değeri genellikle 1’e yakındır, değeri ise genellikle 0.25 ile 1 arasında seçilir. Uygulamada yaygın bir tercih .

1 boyutlu bir durumda (Denklem 10), şu şekilde ifade edilebilir: Denklem 19:

(Denklem 11)’in çözümü aşağıdaki biçime sahiptir: burada sönümleme fonksiyonunu, ise faz hızını temsil eder. (Denklem 12)’nin (Denklem 10)’a konulması şunu verir:

(Denklem 13)’ü sağlamak için hem reel kısımların toplamının hem de hayali kısımların toplamının sıfıra eşit olması gerekir. Bu da aşağıdaki denkleme yol açar:

(Denklem 14)’ten ve (Denklem 15)’ten, şunun bulunduğunu görürüz: ve :

Sönümleme fonksiyonunun sismik dalgaların genliğine etkisi şu şekilde ifade edilebilir: Denklem 18 (Aki ve Richards, 1980): Burada pozisyonundaki genliği, ise dalga denkleminde sönümleme düşünülmediğinde noktasındaki sismik dalmanın genliğini temsil eder.

Kaymalı Laplasian önkoşullandırıcının performansının, tek bir ızgara noktasındaki enerji kaybının orijinal enerjiye oranına bağlı olduğu varsayılırsa, bu oran şu şekilde tanımlanır: . Sismik dalmanın enerjisi genliğinin kareleriyle orantılıdır. ile sönümleme faktörü arasındaki ilişki şu şekilde ifade edilebilir: Denklem 19: Burada sismik dalmanın enerjisini, değişkeni ise sismik dalma bir dalga boyu yayıldıktan sonra kaybedilen enerjiyi temsil eder. Buna karşılık, tek bir ızgara hücrenin uzunluğunu, ise dalga boyunu ifade eder. Sönümleme faktörü şu şekilde hesaplanabilir:

Bu çalışma, kaymalı Laplasyen operatörünün, her grid hücreindeki enerji sönümlemesinin yüzde oranı olan a değeriyle ilişkili olduğunu varsayar. Buradan, burada ifadesi hesabın frekansını, ifadesi ise dalga boyu başına düşen nokta sayısını gösterdiğini söylemek mümkündür; bu sayı 22 ve 23 numaralı denklemlerden elde edilen 24 numaralı denklem ile hesaplanır. ve sırasıyla modelin en küçük ve en büyük hızlarını temsil eder. Bu makalede, tüm modeller için değeri 0.004 olarak belirlenmiştir.

3. Sonuçlar

Hızlı GMRES yakınsamasının önerilen kaymalı Laplacian önkoşullandırıcının spektral kökenini açıklamak için Şekil 1, önerilen önkoşullandırıcı ile gelenek önkoşullandırıcının 3 boyutlu model için 30 Hz frekansta elde ettiği Helmholtz operatörünün özdeğer dağılımlarını karşılaştırır. Helmholtz empedans matrisi, sabit hızlı model (hız 3.000 m/s, ızgara açıklığı , , ve 3 katman kalınlığında karmaşık frekanslı kaymalı mükemmel eşleşen katman (PML)) altında, ikinci mertebeli yedi noktalı sonlu fark şeması kullanılarak oluşturulur. Gelenek önkoşullandırıcı benimsenirken, önerilen önkoşullandırıcı, Denklem 21’de verildiği gibi kullanır ( ile). Önkoşullandırılmış operatörlerin tam spektrumu, genel özdeğer problemi çözülerek elde edilir

aracılığıyla

yoğun QZ algoritması ile hesaplanır ve karmaşık düzlemde renk kodlamasıyla (geleneksel için turuncu, önerilen için mavi) üst üste çizilir; kırmızı kesikli çizgi . Şekil 1’de görüldüğü gibi, geleneksel ön koşullandırıcı spektrumu tarafına doğru esnetse de, hâlâ belirgin saçaklanma ve birkaç aykırı özdeğeri (ortanca , maksimum ) korumaktadır. Keskin bir karşılaştırma içinde, önerilen ön koşullandırıcı, 1 etrafında belirgin derecede daha sıkı bir küme oluşturarak ortanca uzaklığı yaklaşık beş kat azaltmaktadır (0,0021’e karşı 0,0104) ve en kötü durum aykırısını altı katı aşacak şekilde küçültmektedir (0,113’e karşı 0,712). GMRES’in yakınsama hızının, 1 etrafındaki ön koşullandırılmış spektral kümenin sıkılığı tarafından belirlendiği göz önüne alındığında, bu belirgin özdeğer sıkışması, önerilen ön koşullandırıcının hızlanan yakınsaması için açık bir spektral açıklama sunarken, eşzamanlı olarak

burada sunulan yenilikçi önkoşullandırma stratejisinin, Helmholtz denkleminin çözüm verimliliğini teorisel açıdan artırdığı görülmektedir.

ŞEKİL 1

Bu makale, 3B Helmholtz denkleminin çözümü için doğrudan ve yinelemeli yöntemlerin bellek kullanımı ve hesaplama süresini farklı boyutlardaki modeller üzerinde karşılaştırmaktadır. Bu bağlamda, doğrudan çözüm LU ayrışımını, yinelemeli çözüm ise bu makalede önerilen yöntemi kullanmaktadır. Sonuçlar Tablo 1’de özetlenmiştir; bu tablo, model boyutu arttıkça doğrudan yöntemin bellek gereksinimleri ve hesaplama süresinin üstel olarak arttığını, hesaplama süresinin ise daha da hızlı bir şekilde arttığını göstermektedir. Buna karşılık, yinelemeli yöntem aynı model boyutlarında önemli ölçüde daha az bellek gereksinimi ve hesaplama süresi göstermektedir. 3B Helmholtz denkleminin ileri modellemenin doğruluğunu ve etkinliğini doğrulamak için simüle edilen çözümleri sayısal çözümlerle karşılaştırdık. Karşılaştırma sonuçları Şekil 2’de sunulmuş olup 3B Helmholtz denkleminin geçerliliğini doğrulamaktadır.

TABLO 1

3B Helmholtz denkleminin çözümü için doğrudan ve yinelemeli yöntemler arasında bellek kullanımı ve hesaplama süresi karşılaştırmasını sunmaktadır.

ŞEKİL 2

3B Helmholtz denkleminin çözümünde yeni ön koşullandırıcının etkinliğini doğrulamak için yeni ön koşullandırıcı, kaymalı Laplasyen ön koşullandırıcı ve uyarlamalı karmaşık frekans ön koşullandırıcı (Xu ve ark., 2021) dört klasik model üzerinde karşılaştırılmıştır: 1) sabit hız modeli, 2) üç katmanlı hız modeli (Şekil 3), 3) karmaşık hız modeli (Şekil 4) ve 4) tuz kubbesi hız modeli (Şekil 5). İleri modellemede baskın frekansı 30 Hz olan Ricker dalga formu kullanılmıştır. Karşılaştırma, 8 Hz, 20 Hz, 30 Hz, 45 Hz ve 60 Hz frekans bileşenlerinin reel kısımlarını içermektedir. Düzleştirici operasyon GMRES’i, çözücü ise esnek GMRES’i kullanmaktadır. Gerçek hesaplamalarda her işlem için düzleştirici fonksiyon 15 kez yinelemektedir. Bellek kullanımının optimize edilmesi için her beş yinelemede bir yeniden başlatma gerçekleştirilmektedir. Altıncı mertebe sonlu fark metodu uygulanmış ve soğurucu sınır 20 katmandan oluşmaktadır. Yineleme süreci normalize edilmiş artım . değerinin altına düştüğünde sonlandırılmaktadır. Bu çalışmalar 250 GB belleğe sahip bir iş istasyonunda, C programlama dili kullanılarak gerçekleştirilmiştir. İşlemci modeli E5-2620 v4 @ 2.10 GHz olup, hesaplamalar 10 iş parçacığında paralel olarak yürütülmektedir.

ŞEKİL 3

ŞEKİL 4

ŞEKİL 5

Model 1, sabit hızlı bir modeldir. Model 2 ise üç katmanlı hız modelidir. Her iki model de altışar seviyeli çoklu çözümleme (multigrid) tekniğini kullanır. Izgara boyutları , şeklinde olup , şeklindedir. Kaynak konumları ile gösterilir. Sabit hızlı model 3.000 değerine sahiptir. Üst, orta ve alt katmanlardan oluşan üç katmanlı hız modelinde bu değerler sırasıyla 3.000, 4.000 ve 5.000’dir. Model 2 Şekil 3’te gösterilmiştir. Şekil 6 (Model 1) ve Şekil 7 (Model 2), model için farklı frekanslarda hesaplanan tek frekanslı bileşenleri göstermektedir. Şekil 8 (Model 1) ve Şekil 9 (Model 2) ise farklı frekanslarda normalize yakınsama eğrilerini sunmaktadır. Tablo 2 ve Tablo 3, üç önkoşullandırıcı için gereken yineleme sayısı ve hesaplama süresini karşılaştırmaktadır. Şekil 8 ve 9’dan görüldüğü gibi, düşük frekanslarda yeni önkoşullandırıcının Helmholtz denklemini çözmek için gereken yineleme sayısı, geleneksel kaydırmalı Laplasian ve uyarlanabilir karmaşık frekans önkoşullancılarıyla karşılaştırılabilir düzeydedir. Uyarlanabilir karmaşık frekans önkoşullandırıcısı ve yeni önkoşullandırıcı, kaydırmalı Laplasian önkoşullandırıcısına göre daha hızlı bir yakınsama hızı göstermektedir. 20 Hz ve 30 Hz’de tek frekanslı bileşenler hesaplanırken uyarlanabilir karmaşık frekans, diğer iki önkoşullancıya göre daha hızlı yakınsamaktadır. Yeni önkoşullandırıcı ise 45 Hz ve 60 Hz’de tek frekanslı bileşenler hesaplanırken daha hızlı bir yakınsama göstermektedir.

ŞEKİL 6

ŞEKİL 7

ŞEKİL 8

ŞEKİL 9

TABLO 2

Sabit hız modelinde (Model 1) geleneksel kaydırmalı Laplasyen önkoşullandırıcı (Yöntem 1), uyarlanabilir karmaşık frekans önkoşullandırıcı (Yöntem 2) ve yeni önkoşullandırıcı (Yöntem 3) arasındaki yineleme sayısı ve hesaplama süresi karşılaştırması.

TABLO 3

Üç katmanlı hız modelinde (Model 2) geleneksel kaydırmalı Laplasyen önkoşullandırıcı (Yöntem 1), uyarlanabilir karmaşık frekans önkoşullandarıcı (Yöntem 2) ve yeni önkoşullandarıcı (Yöntem 3) arasındaki yineleme sayısı ve hesaplama süresi karşılaştırması.

Model 3, Overthrust’un bir bölümünden türetilmiş karmaşık bir hız modelidir. Bu model için çoklu çözünür (multigrid) yöntem beş seviye kullanmıştır. Izgara boyutları ve olarak verilmiş olup, kaynak konumu ile gösterilmektedir. Hız modeli Şekil 4’te gösterilmiştir. Şekil 10, karmaşık hız modeli için farklı frekanslarda hesaplanan tek frekanslı bileşenleri sunmaktadır. Şekil 11, karmaşık model için farklı frekanslarda normalize edilmiş yakınsama eğrilerini sunmaktadır. Tablo 4, üç önkoşullandırıcı için gereken iterasyon sayısı ve hesaplama süresini karşılaştırmaktadır. Şekil 11 ve Tablo 4, tek frekanslı bileşenlerin 45 Hz ve 60 Hz’de hesaplanmasında yeni önkoşullandırıcının, uyarlamalı karmaşık frekans önkoşullandırıcısından daha hızlı yakınsadığını göstermektedir. Uyarlamalı karmaşık frekans önkoşullandırıcısı yalnızca 20 Hz’deki tek frekanslı bileşenin hesaplanmasında yeni bütçe operatörüne göre bir avantaj göstermektedir.

ŞEKİL 10

ŞEKİL 11

TABLO 4

Konvansiyonel kaydırmalı Laplasian önkoşullandırıcı (Yöntem 1), uyarlamalı karmaşık frekans önkoşullandarıcı (Yöntem 2) ve yeni önkoşullandarıcı (Yöntem 3) arasında karmaşık hız modeli (Model 3) için iterasyon sayısı ve hesaplama süresinin karşılaştırılması.

Model 4, altı seviye kullanan çoklu ağ (multigrid) yöntemiyle çözülen tuz kubbesi hız modelidir. Ağ boyutları ve kaynak konumları şu şekilde tanımlanmıştır. Hız modeli Şekil 5’te gösterilmiştir. Şekil 12, tuz kubbesi hız modeli için farklı frekanslarda hesaplanan tek frekanslı bileşenleri; Şekil 13 ise farklı frekanslarda tuz kubbesi hız modeli için normalize edilmiş yakınsama eğrilerini sunmaktadır. Tablo 5, üç önkoşullandırıcı için tuz kubbesi hız modelindeki yineleme sayısı ve hesaplama süresini karşılaştırmaktadır. Şekil 13 ve Tablo 5, yeni önkoşullandırıcının tuz kubbesi hız modeli için ara frekanslarda belirgin bir avantaj gösterdiğini ortaya koymaktadır. Bu, yineleme sayısında yaklaşık %50’lik bir azalma sağlamaktadır. Yüksek frekanslı hesaplamalarda bu avantaj azalmakta ve yineleme sayısındaki azalma ancak yaklaşık %30’a düşmektedir. Yeni önkoşullandırıcı, 30 Hz ve 45 Hz’de tek frekanslı bileşenler hesaplanırken uyarlamalı karmaşık frekans önkoşullandırıcısına karşı avantaj göstermektedir. Diğer frekanslarda ise iki önkoşullandarıcının yakınsama hızları benzerdir.

ŞEKİL 12

ŞEKİL 13

TABLO 5

Yedekli Laplasyen önkoşullandırıcısı (Yöntem 1), uyarlanabilir karmaşık frekans önkoşullandırıcısı (Yöntem 2) ve yeni önkoşullandırıcısı (Yöntem 3) arasında, salt-dome (Model 4) hız modeli için yineleme sayısı ve hesaplama süresinin karşılaştırılması.

4 Sonuç

Bu makale, 3B Helmholtz denkleminin çözümünde yedekli Laplasyen önkoşullandırıcısının performansının, tek bir ızgara noktasında sismik dalga enerji kaybının orijinal enerjiye oranıyla ilişkili olduğunu öne sürmektedir. Yeni önkoşullandırıcının etkinliğini doğrulamak için bu çalışmada üç önkoşullandırıcı dört model kullanılarak karşılaştırılmıştır. Sayısal sonuçlar, önkoşullandırıcının geleneksel yedekli Laplasyen önkoşullandırıcısına kıyasla %30–%66 arasında performans iyileşmeleri sağladığını göstermektedir. Yeni önkoşullandarıcı, hem salt-dome modeli hem de karmaşık model için hesaplama açısından uyarlanabilir karmaşık frekans önkoşullandırıcısına göre üstünlük sağlamaktadır. Bu yeni önerilen önkoşullandarıcı, 3B Helmholtz denkleminin yinelemeli çözücülerinin hesaplama süresini önemli ölçüde azaltmaktadır.

İfadeler

Veri erişim ifadesi

Bu makalenin sonuçlarını destekleyen ham veriler, gereksiz bir şart koşulmadan yazarlar tarafından sağlanacaktır.

Yazar katkıları

QD: Kavramsal çalışma, Orijinal taslak yazımı, Yöntem. ZP: Veri düzenlemesi, Gözetim, Kaynaklar, İnceleme ve düzenleme yazımı. HM: İnceleme ve düzenleme yazımı, Kavramsal çalışma, Gözetim, Finansman edinimi. LP: İnceleme ve düzenleme yazımı, Gözetim, Kavramsal çalışma, Resmi analiz. XL: Soruşturma, İnceleme ve düzenleme yazımı, Gözetim, Görselleştirme. CW: Gözetim, İnceleme ve düzenleme yazımı, Yöntem, Veri düzenlemesi. KM: Yöntem, İnceleme ve düzenleme yazımı, Gözetim, Görselleştirme, Doğrulama.

Finansman

Müellif(ler), bu çalışma ve/veya yayımı için finansal destek alındığını beyan etti. Bu araştırma, Xinjiang Uygur Özerk Bölgesi Bilim ve Teknoloji Özel Projesi “Belt ve Road’un Çekirdek Alanı ve Çevresinde Petrol ve Gaz Kaynakları ile Stratejik Araştırma Hedefleri” kapsamında, 2025A01009 hibe numarasıyla desteklenmiştir.

Tesekkürler

Makale yazarı, bu araştırmanın başarılı olmasına katkı sağlayan tüm kişilere içten teşekkürlerini sunar. Araştırma süreci boyunca değerli yol göstericilik ve destekleri için Expert HM, ZP ve LP’ye özel teşekkürler sunulur. Uzmanlıkları ve görüşleri bu çalışmanın kalitesini büyük ölçüde artırmıştır. Yazar, taslağın iyileştirilmesine katkı sağlayan yapıcı geri bildirimleri için hakemlere de teşekkür etmek ister. Araştırma sırasında sağladıkları yardımcı destek ve işbirliği için XL, CW ve KM’ye teşekkürler ayrıca sunulur. Son olarak, bu çalışmanın tamamlanmasında kritik önem taşıyan sarsılmaz destek ve teşvikleri için aile üyelerine kalpten teşekkürler sunulur.

Çıkar çatışması

Makale yazar(ları), bu çalışmanın ticari veya finansal, potansiyel bir çıkar çatışması olarak değerlendirilebilecek herhangi bir ilişki olmadan yürütüldüğünü beyan etti.

Üretken yapay zeka bildirimi

Makale yazar(ları), bu taslakın oluşturulmasında üretken yapay zekanın kullanılmadığını beyan etti.

Bu makalede şekillerle birlikte sağlanan herhangi bir alternatif metin (alt text) Frontiers tarafından yapay zekânın desteğiyle oluşturulmuş olup, mümkün olduğunca yazarların da gözden geçirmesini içeren doğruluk sağlamak için makul çabalar gösterilmiştir. Herhangi bir sorunu tespit ederseniz, lütfen bizimle iletişime geçin.

Yayıncının notu

Bu makalede ifade edilen tüm iddialar yalnızca yazarların görüşlerini yansıtır ve bağlı oldukları kuruluşların, yayıncının, editörlerin veya hakemlerin görüşlerini zorunlu olarak temsil etmez. Bu makalede değerlendirilebilecek herhangi bir ürün veya üreticisinin yapabileceği herhangi bir iddia, yayıncı tarafından garanti edilmez veya desteklenmez.

• Airaksinen, Heikkola, Pennanen ve Toivanen (2007). Helmholtz denklemi için cebirsel çok çözünürlüklü tabanlı kaydırılmış Laplasyen önkoşullandırıcı. J. Comput. Phys. 226, 1196–1210. 10.1016/j.jcp.2007.05.013

  • CrossRef
  • Google Scholar
  • Makalede referansı görüntüle

• Aki ve Richards (1980). Nicel sismoloji: Teori ve yöntemler, 1. Freeman.

  • Google Scholar
  • Makalede referansı görüntüle

• Chen (2012). Frekans alanı skaler dalga denklemi için ortalamalı türev optimal şema. Geophysics 77, T201–T210. 10.1190/geo2011-0389.1

  • CrossRef
  • Google Scholar
  • Makalede referansı görüntüle

• Chen, Yang, Wang, Zhou ve Huang (2022). Çift dekonvolusyon ile yeniden inşa edilen bant içi sismik veriye dayalı elastik tam dalga formu tersine çevirme. IEEE Geoscience Remote Sens. Lett. 19, 1–5. 10.1109/lgrs.2022.3178915

  • CrossRef
  • Google Scholar
  • Makalede referansı görüntüle

• Drzisga, Köppl ve Wohlmuth (2023). Yakın optimal kaydırmalarla Helmholtz denklemi için yarı matris-free iki çözünürlüklü önkoşullandırıcı. J. Sci. Comput. 95, 82. 10.1007/s10915-023-02195-5

  • CrossRef
  • Google Scholar
  • Makalede referansı görüntüle

• Erlangga, Vuik ve Oosterlee (2004). Helmholtz denklemi çözümü için bir önkoşullandırıcı sınıfı hakkında. Appl. Numer. Math. 50, 409–425. 10.1016/j.apnum.2004.01.009

  • CrossRef
  • Google Scholar
  • Makalede referansı görüntüle

• Erlangga, Oosterlee ve Vuik (2006). Homojen olmayan Helmholtz probleleri için yeni bir çok çözünürlüklü tabanlı önkoşullandarıcı. SIAM J. Sci. Comput. 27, 1471–1492. 10.1137/040615195

  • CrossRef
  • Google Scholar
  • Makalede referansı görüntüle

• Gander M. J., Nataf F. (2005). Ses biliminde kullanılan eksik LU önkoşullandırıcı. J. Comput. Acoust. 13, 455–476. 10.1142/s0218396x05002803

  • CrossRef
  • Google Scholar
  • Kaynağa makale içinde bak

• Gander M. J., Graham I. G., Spence E. A. (2015). Kaydırılmış Laplasyen önkoşullandırmasıyla Helmholtz denklemine GMRES uygulama: dalga numarasından bağımsız yakınsama için garanti edilen en büyük kaydırma değeri nedir? Numer. Math. 131, 567–614. 10.1007/s00211-015-0700-2

  • CrossRef
  • Google Scholar
  • Kaynağa makale içinde bak

• Heydari M., Hosseininia M., Baleanu D. (2023). Karmaşık çözüme sahip 3 boyutlu Helmholtz denklemi için verimli bir yöntem

  • Google Scholar
  • Kaynağa makale içinde bak

• Hu W., Abubakar A., Habashy T., Liu J. (2011). Frekans alanında tam dalga formu sismik tersine çözümleme için önkoşullandırılmış doğrusal olmayan eşlenmiş gradyan yöntemi. Geophys. Prospect. 59, 477–491. 10.1111/j.1365-2478.2010.00938.x

  • CrossRef
  • Google Scholar
  • Kaynağa makale içinde bak

• Jo C.-H., Shin C., Suh J. H. (1996). Optimal 9 noktalı, sonlu fark, frekans-uzayı, 2 boyutlu skaler dalga dışarı aktarıcı. Geophysics 61, 529–537. 10.1190/1.1443979

  • CrossRef
  • Google Scholar
  • Kaynağa makale içinde bak

• Kincaid D. R., Cheney E. W. (2009). “Sayısal analiz: bilimsel hesaplamanın matematiği”, 2. American Mathematical Soc.

  • Google Scholar
  • Kaynağa makale içinde bak

• Komitsch D., Martin R. (2007). Sismik dalga denklemi için düşkün gelme açısında iyileştirilmiş bölünmemiş konvolüsyonel mükemmel eşleşmiş katman. Geophysics 72, SM155–SM167. 10.1190/1.2757586

  • CrossRef
  • Google Scholar
  • Kaynağa makale içinde bak

• Laird A, Giles M B (2002). Preconditioned iterative solution of the 2D helmholtz equation. Conf. Proceedings.

  • Google Scholar
  • View reference in article

• Lang C, Ren Z-R (2015). Inexact rotated block triangular preconditioners for a class of block two-by-two matrices. J. Eng. Math.93, 87–98. 10.1007/s10665-013-9674-1

  • CrossRef
  • Google Scholar
  • View reference in article

• Lang C, Yang D-H (2017). A nearly analytic discrete method for solving the acoustic-wave equations in the frequency domain. Geophysics82, T43–T57. 10.1190/geo2016-0248.1

  • CrossRef
  • Google Scholar
  • View reference in article

• Li T-Y, Chen F, Sun H-W, Sun T (2023). Preconditioning technique based on sine transformation for nonlocal helmholtz equations with fractional laplacian. J. Sci. Comput.97, 17. 10.1007/s10915-023-02332-0

  • CrossRef
  • Google Scholar
  • View reference in article

• Lin X, Li C, Hon S (2024). Absolute-value based preconditioner for complex-shifted laplacian systems. arXiv Preprint arXiv:2408.00488. 10.48550/arXiv.2408.00488

  • CrossRef
  • Google Scholar
  • View reference in article

• Liu X, Xi Y, Saad Y, de Hoop M V (2020). Solving the three-dimensional high-frequency helmholtz equation using contour integration and polynomial preconditioning. SIAM J. Matrix Analysis Appl.41, 58–82. 10.1137/18m1228128

  • CrossRef
  • Google Scholar
  • View reference in article

• Oosterlee C, Vuik C, Mulder W, Plessix R-E (2009). “Shifted-laplacian preconditioners for heterogeneous helmholtz problems,” in Advanced Computational Methods in Science and Engineering (Springer), 21–46.

  • Google Scholar
  • View reference in article

• Plessix R.-E. (2007). 3D sismik görüntüleme problemleri için bir helmholtz yinelemeli çözücü. Geophysics72, SM185–SM194. 10.1190/1.2738849

  • CrossRef
  • Google Scholar
  • Kaynağa bak

• Pratt R. G. (1999). Frekans alanında sismik dalga formu tersine çevirme, kısım 1: teori ve fiziksel ölçekli modelde doğrulama. Geophysics64, 888–901. 10.1190/1.1444597

  • CrossRef
  • Google Scholar
  • Kaynağa bak

• Pulch R., Sète O. (2024). Dalga numarasında belirsizlikler içeren helmholtz denklemi. J. Sci. Comput.98, 60. 10.1007/s10915-024-02450-3

  • CrossRef
  • Google Scholar
  • Kaynağa bak

• Roden J. A., Gedney S. D. (2000). Konvolüsyon pml (Cpml): keyfi ortamlar için cfs–pml’in verimli bir fdtd uygulaması. Microw. Opt. Technol. Lett.27, 334–339. 10.1002/1098-2760(20001205)27:5⟨334::AID-MOP14⟩3.0.CO;2-A

  • CrossRef
  • Google Scholar
  • Kaynağa bak

• Saad Y. (2003). Seyrek doğrusal sistemler için yinelemeli yöntemler. Society for Industrial and Applied Mathematics.

  • Google Scholar
  • Kaynağa bak

• Silva C. D., Herrmann F. (2019). Doğrusal olmayan tersine çevirme problemleri için birleştirilmiş 2d/3d büyük ölçekli yazılım ortamı. ACM Trans. Math. Softw. (TOMS)45, 1–35. 10.1145/3291042

  • CrossRef
  • Google Scholar
  • Kaynağa bak

• Tarantola A. (1984). Akustik yaklaşım içinde sismik yansıma verilerinin tersine çevrilmesi. Geophysics49, 1259–1266. 10.1190/1.1441754

  • CrossRef
  • Google Scholar
  • Kaynağa bak

• Xu, W., Zhong, Y., Wu, B., Gao, J., Liu, Q. H. (2021). Adaptive complex frequency with v-cycle gmres for preconditioning 3d helmholtz equation. Geophysics 86, T349–T359. 10.1190/geo2020-0901.1

  • CrossRef
  • Google Scholar
  • View reference in article

• Xuejun, M., Qi, M., Haiying, L., Zichuan, Y., Xueying, Z. (2020). Q estimation from zero-offset vsp data under the constraint of q forward modeling. Xinjiang Pet. Geol. 41, 483. 10.7657/XJPG20200415

  • CrossRef
  • Google Scholar
  • View reference in article

• Yiming, M., Zandong, S., Zhiyuan, T., Liwen, Y. (2015). Application of multiscale waveform tomography inversion in highaccuracy velocity modeling. Xinjiang Pet. Geol. 36, 493–497. 10.7657/XJPG20150421

  • CrossRef
  • Google Scholar
  • View reference in article

• Zhao, Z., Chen, J. (2019). Complex frequency-shifted multi-axial perfectly matched layer for frequency-domain seismic wavefield simulation in anisotropic media. Geophys. Prospecting 67, 1329–1344. 10.1111/1365-2478.12780

  • CrossRef
  • Google Scholar
  • View reference in article

• Zhao, N., Wang, X. (2012). A parallel preconditioned bi-conjugate gradient stabilized solver for the poisson problem. J. Comput. 7, 3088–3095. 10.4304/jcp.7.12.3088-3095

  • CrossRef
  • Google Scholar
  • View reference in article

Özet

Anhtar Kelimeler

3D Helmholtz denklemi, genelleştirilmiş minimum rezidü (GMRES), çoklu ağ yöntemleri, önkoşullandırıcı, kaydırılmış Laplasian operatörü

Başvuru

Ding Q, Pang Z, Mao H, Pan L, Li X, Wang C ve Ma K (2026) Helmholtz dalga denklemini çözmek için yeni bir kaydırılmış Laplasian önkoşullandırıcı. Front. Earth Sci. 14:1831702. doi: 10.3389/feart.2026.1831702

Müracaat Tarihi

16 Mart 2026

Güncellenme Tarihi

04 Eylül 2026

Kabul Tarihi

08 Ekim 2026

Yayınlanma Tarihi

11 Kasım 2026

Cilt

14 – 2026

Mourad Bezzeghoud, Universidade de Évora, Portugal

Ivan Luthfi Ihwani, Endonezya Gadjah Mada Üniversitesi

Wenqiang Wang, Çin Shenzhen Süper Bilgisayar Merkezi

Yongwei Zhang, Çin Zhengzhou Üniversitesi

© 2026 Ding, Pang, Mao, Pan, Li, Wang ve Ma.

Bu makale Creative Commons Atıf Lisansı (CC BY) koşulları altında açık erişimli olarak dağıtılmıştır. Kabul görmüş akademik uygulamalar doğrultusunda, orijinal yazar(lar)ın ve telif hakkı sahib(lar)ının belirtilmesi ve bu dergideki orijinal yayının atıf edilmesi şartıyla, diğer platformlarda kullanım, dağıtım veya çoğaltma mümkündür. Bu koşullara uymayan herhangi bir kullanım, dağıtım veya çoğaltmaya izin verilmez.

*İletişim: Qianlong Ding, ding.qianlong@foxmail.com

Bu makalede ifade edilen tüm iddialar yalnızca yazarlara aittir ve bağlı oldukları kuruluşların, ya da yayıncının, editörlerin ve hakemlerin görüşlerini kesin olarak yansıtmaz. Bu makalede değerlendirilebilecek herhangi bir ürün veya üreticisinin yapabileceği herhangi bir iddia, yayıncı tarafından garanti edilmez veya desteklenmez.