İki Düğmeli Bu Hesap Makinesi Nasıl Çalışıyor?

5 min okuma

Dünyanın en pratik olmayan hesap makinesinin yalnızca iki düğmesi var

Modern hesap makineleri; sinüs, karekök, pi ve üs gibi işlemler için birden fazla düğme içerir. Ancak yalnızca ikisinin yeterli olması da mümkün

Geçmişte, bir sayının logaritması gibi karmaşık değerlerin hesaplanması, büyük bir emek ve sabır yanı sıra uygun referans materyali gerektirirdi. Bazen sıkıcı geçen bu çalışmalar, beklenmedik keşiflere yol açtı. Örneğin, gök bilimci Simon Newcomb, logaritma tablolarını karıştırırken, 1 rakamıyla başlayan değerlerin sayfalarının diğerlerinden belirgin derecede daha fazla aşınmış olduğunu fark etti. Bu gözlem, sonunda rastgele sayıların nasıl dağıldığını açıklayan sözde Benford yasasına yol açtı.

Hesap makineleri o dönemde mevcut olsaydı, Benford yasası hiçbir zaman keşfedilmemiş olabilir. Yine de kişisel olarak, okul yıllarım veya üniversite öğrenimim sırasında ya da işimde logaritma tablolarıyla ya da başka formül koleksiyonlarıyla uğraşmak zorunda kalmadığım için müteşekkirim. Aslında, bilimsel hesap makinemsiz kalmak istemem. İçinde yalnızca pi ya da Euler sayısı gibi önemli değerler programlı olmakla kalmaz, aynı zamanda tek bir dokunuşla küp kök ya da bir sayının logaritması gibi daha karmaşık işlemleri de hesaplayabilir.

Polonya’daki Jagiellonian Üniversitesi’nden fizikçi Andrzej Odrzywołek, ancak 2026’nın Mart ayında paylaşılan bir ön baskıda, hesap makinelerinin çok daha basit tasarlanabileceğini açıklıyor: Düğmelerden yalnızca ikisi, bir bilimsel hesap makinesinin temel hesaplamalarını ve işlemlerini yerine getirmek için yeterli. Ya tanjant, ya karekök, ya pi ya da üs alma—bütün bu işlemler, yalnızca 1 sayısı ve eml(x,y) = exp(x) − ln(y) operatörü kullanılarak kodlanabilir. Çalışması, mantıksal çıkarımları adım adım takip edip her şeyin doğru olup olmadığını kontrol eden bir tür kanıt doğrulayıcı—bilgisayar programı—tarafından doğrulanmış durumda.

36’dan 2’ye

Modeline göre bir hesap makinesi farklı karmaşırlıkta görevleri yerine getirebilir. Bazı modeller yalnızca dört temel işlemi; toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini halleder. Bazıları ise trigonometrik fonksiyonları değerlendirme, kök alma ve logaritma hesaplama yeteneğine sahiptir. Benzer bir hesap makinesine benim de okul yıllarımda erişimim vardı. Ancak denklemleri kendiliğinden çözebilen ve fonksiyonları geometrik olarak temsil edebilen grafik hesap makinelerini kullanmama izin verilmiyordu.

Odrzywołek, çalışmalarında, söz konusu trigonometrik fonksiyonlar, üs alma ve benzeri işlemler de dahil olmak üzere, yaygın bilimsel okul makinelerinde bulunan 36 nicelik ve işlemi referans alır. “Üst matematik, bu fonksiyonların çoğunun gereksiz olduğunu ortaya koyar: örneğin, trigonometrik olanlar karmaşık üstel fonksiyona indirgenir. Bu indirgeme nereye kadar gidebilir?” diye soruyor makalesinde.

Fizikçi, tek bir fonksiyon ve tek bir sayının, söz konusu 36 fonksiyon ve niceliği inşa etmek için yeterli olabileceğinden şüpheleniyordu. “Bu makul görünüyor,” diyor bu çalışmaya dahil olmayan Avusturya’daki Johannes Kepler Üniversitesi’nden matematikçi Manuel Kauers. “Temel fonksiyonlar sınıfı pek zengin değil.”

Bu varsayım, teknik açıdan da destekleniyor. Zaten 1913’te matematikçi Henry Sheffer, dijital hesaplamaların tek bir mantıksal kapı olan “NAND kapısı” kullanılarak yapılabileceğini kanıtlamıştı. Bu keşif, son derece karmaşık bilgisayar hesaplamalarının tek tip bir transistör kullanılarak gerçekleştirilmesini sağlamıştı.

Tüm Güce Sahibi Bir Fonksiyon

Hesab makinesi için gereken tek fonksiyonu bulmak isteyen Odrzywołek, önce yaygın olarak kullanılan cebirsel Wolfram Mathematica programının komut setine başvurdu. Bu komut seti, temel işlemleri türetmek için yalnızca yedi fonksiyon kullanır. “Neredeyse 40 yıldır titizlikle test edilmiş, önceden optimize edilmiş bir sistem için referans görevi gördü,” yazıyor.

Bu talimat setini daha da azaltmak için fizikçi, sistematik aramaya yardımcı olmak amacıyla bir bilgisayar programı tasarladı. Evrensel işlemler için aday bir belirleyici verildiğinde, bu program 36 temel fonksiyon, sayı ve önemli sabiti ifade etmenin tüm olası yollarını sistematik olarak inceliyor. Birçok denemeden sonra, 1 ile eml(x, y)—”eml” eksi-logaritma fonksiyonu anlamına gelir—temel fonksiyonların yeniden inşası için temel oluşturabilecek sonuçuna vardı.

Örneğin, Euler sayısı e‘yi üretmek için yalnızca eml(1,1) hesaplamak yeterlidir çünkü exp(1) − ln(1) = e. Ancak çıkarma işlemi yapmak veya trigonometrik fonksiyonları hesaplamak için eml operatörünün birden fazla kez iç içe geçirilmesi gerekir—başka bir deyişle, bu eml tekrar tekrar bir işleme sokulmalıdır. Sinüs fonksiyonu için örneğin, üst üste 10’dan fazla kez iç içe geçirilmesi gerekir ki bu daha zahmetli bir görevdir.

Sarmal, eml operasyonundan farklı temel fonksiyonların ve değerlerin nasıl üretildiğini gösteriyor. Oklar, niceliklerin oluşturulmasında hangi öğelerin kullanılabileceğini işaret ediyor.

“All Elementary Functions from a Single Binary Operator,” Andrzej Odrzywołek tarafından. Ön baskı 23 Mart 2026 tarihinde https://arxiv.org/abs/2603.21852 adresine yüklendi

Ve diğer zorluklar hızla ortaya çıkıyor. Gerçek dünya matematiğinde bile, karekökleri negatif değerler içeren karmaşık sayılarla uğraşmanız gerekebilir. Ancak bir karmaşık sayının logaritması benzersiz şekilde tanımlanmadığı için, logaritanın kesin bir değer aldığı belirli bir segment olan bir “dal” seçmeniz gerekir. Bu nedenle Odrzywołek, eml yapısının doğru sonuçları elde etmek için uygulanması sırasında büyük bir dikkat gösterilmesi gerektiğini yazıyor.

Ayrıca eml ve 1, temel işlemlerin türetilebileceği tek fonksiyon ve sayı kombinasyonları değil. Fizikçinin keşfettiği gibi, tamamen işlevsel bir hesap makinesi, eksi-bölüntü-logaritma edl(x,y) ve e kullanılarak tasarlanabilir. Diğer çözümler de olabilir.

EML ve Makine Öğrenimi

Teorik açıdan Odrzywołek’in sonucunu oldukça ilgin bulan ben, bunun pratik uygulamalarının pek olmadığını görüyorum. Sadece iki düğmesi olan bir hesap makinesi örneğinde olduğu gibi, inanılmaz derecede kompakt olurdu ama neredeyse kullanıcı dostu olmazdı. 0 sayısını üretmek için şu hesaplamayı yapmanız gerekirdi: eml(1, eml(eml(1, 1), 1)) = eml(1, eml(e, 1)) = eml(1, ee) = e – e × ln(e) = 0. Dolayısıyla en basit sayıları bile girmek çok zaman ve sabır gerektirir (ayrıca belli bir aritmetik yeteneği de).

Odrzywołek, sinir ağları alanında başka bir uygulama da önerdi. Bu yapay zeka algoritmaları, eml yapısıyla temsil edilebilen temel fonksiyonlara dayanır. Bu avantajlar sunabilir: ReLU, tanh, GELU veya sinüs gibi sinir ağlarının geleneksel aritmetik işlemleri için birden farklı fonksiyon birimi ve bakım tablosu yerine, aynı eml hücreleri kullanılabilir; tıpkı bilgisayar çiplerindeki NAND kapıları gibi.

Austria’daki Graz Teknoloji Üniversitesi’nden araştırmacı Eymen Ipek, bunu Nisan 2026’da arXiv.org sunucusuna yüklediği ön baskıda denedi. Ipek, elektrikli araç aktarma organlarını hesaplayan bir sinir ağının bir kısmını eml yapısıyla değiştirdi. Ancak kod mimarisinden basit görünsede, önemli ölçüde daha fazla hesaplama işlemi gerektiriyor, buldu. ReLU, tanh ve benzeri fonksiyonlar sadece bir işlemi temsil ederken, bir eml fonksiyonunun yürütülmesi 111 işlem gerektirir. Bu nedenle, bir eml bilgisayarın pratikte kullanılması—eğer hiç kullanılırsa—çok uzun sürecek.

Bu makale ilk olarak Spektrum der Wissenschaft’da yayımlandı ve izniyle yeniden yayınlandı. Orijinal Almanca metinden yapay zeka desteğiyle çevrildi ve editörlerimiz tarafından gözden geçirildi..

Bilimsel Amerikan Editörü