Sonsuz Sayıda Ramanujan Denklemini İspatlayan Matematikçiler

7 min okuma

Matematikçiler sınırsız sayıda Ramanujan denklemi buldu

Düğimler, vizyoner dehanın geliştirdiği bir türden sınırsız sayıda formül üretmenin yolunu gösteriyor

Efsanevi matematikçi Srinivasa Ramanujan ile Emory Üniversitesi’nde doktora sonrası araştırmacı olan Yifeng Huang’ın ortada bir ortak noktası var: İkisi de görmezden gelinmeyecek. 1912’de Ramanujan, o dönemde Hindistan’daki Madras Liman İştirakinde çalışan 24 yaşında bir memur olarak, yeni ve ispatlanmamış formüllerden oluşan sayfaları İngiltere’deki matematikçilere posta yoluyla göndermeye başladı. Mektuplarından biri sonunda Cambridge Üniversitesi’nden İngiliz matematikçi G. H. Hardy’e ulaştı; Hardy, Ramanujan’ı bir vizyoner olarak tanıdı, onu ziyaret etmeye davet etti ve çığır açan kariyerinin önünü açtı.

Bir yüzyıldan fazla bir süre sonra, Huang, Michigan Üniversitesi’nde lisansüstü öğrenci iken, matematikçilere arka arkaya, toplamda 40’tan fazla mektup gönderdi. Çok nadiren yanıt aldı.

Huang’ın fikirleri, Ramanujan’ın mektuplarında yer alan ve bugün Rogers-Ramanujan özdeşlikleri olarak bilinen iki formüle dayanıyordu. Eylül 2026’da Huang ve birkaç işbirlikçi, bu tarihi denklemlerin, çok daha büyük bir geometrik teorinin tek bir örneğini temsil ettiğine dair bir ispat yükledi. Özellikle bu çalışma, Rogers-Ramanujan özdeşliklerinin belirli bir uzayda bir üçlü düğime karşılık geldiğini gösterdi. Tanıdık Kelt düğümünün şekli olarak bilinen üçlü düğüm, en basit matematik düğümlerinden biri. Ve ilgili düğümlerin, daha önce bilinmeyen sınırsız sayıda özdeşlik ortaya çıkardığını buldular.

Bu konuyla ilgili her şey, orijinal keşif dahil, bir sürpriz,” diyorum Pensilvanya Devlet Üniversitesi’nden matematikçi ve Ramanujan’ın matematiğine uzman George Andrews. Ramanujan, Hardy ve işbirlikçileri “bunu ispatlayamadı,” diye ekliyor. “Bu yüzden teori düğümlerinden ortaya çıkan şeyler benim için tamamen sürprizdi.”

Rogers-Ramanujan Özdeşlikleri

Hardy, 20. yüzyılın erken dönemindeki sayı teorisinin büyük bir kısmının şekillenmesinden sorumluydü. Ramanujan’dan bir mektup aldığında başlangıçta kuşkuyla yaklaşmış, ancak daha sonra mektubun sahibini “en yüksek kalitede bir matematikçi, tamamen olağanüstü bir özgünlük ve güce sahip bir adam” olarak tanıdığını yazmıştır. Bu kritik bir an olmuştu.

Ramanujan’ın iki formülü şaşırtıcıydı: bir tarafta toplamlardan oluşan sonsuz bir dizi, diğer tarafta çarpımlardan oluşan sonsuz bir dizi sunuyor, ancak iki tarafın neden uyumlu olması gerektiğine dair görünür bir sebep yoktu. 1916 yılına gelindiğinde İngiliz matematikçi Percy MacMahon bunları okumak için bir yol bulmuştu. Bu iki denklem, iki yüzyıl önce matematikçi Leonhard Euler tarafından incelenmiş denklemlere benziyordu. Euler, böyle karmaşıklığı atlatmak için zarif bir hile biliyordu: denklemleri “parçalanma” olarak bilinen bir sayma türüne bağlamıştı. Bir sayının parçalanması, o sayının bir toplam olarak yazılmasının bir yoludur. MacMahon, Ramanujan’ın formüllerini birbirinden tamamen farklı görünen ancak sayımları her zaman aynı çıkan iki parçalanma türüne dönüştürdü.

Ramanujan denkleminin bir tarafının nasıl parçalandığı şöyle: Belirli bir değere kadar, birbirinden en az iki tam sayı uzaklıktaki sayıları kullanarak kaç farklı şekilde toplanabileceğini sayın. Örneğin 6 sayısı 1 + 5, 2 + 4 ve 6 olarak yazılabilir. Yani üç parçalanma vardır.

D diğer tarafta, yalnızca sonu 1, 4, 6 veya 9 ile biten sayıları kullanarak toplayın. 6 için cevap 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 4 ve 6’dır, ki bu da üç parçalanma verir.

Formüller, bu iki çok farklı sayımlın her sayı için uyumlu olduğunu söyler. Ramanujan bunları ispatlamadan önce, eski bir matematik dergisinde İngiliz matematikçi Leonard James Rogers’a ait belirsiz bir ispat buldu. Böylece denklemler Rogers-Ramanujan özdeşlikleri olarak bilinir hale geldi.

“20. yüzyılın çoğu için bu, izole bir mücevher olarak görülüyordu,” diyor Andrews. Hiç kimse bunun çok daha büyük bir teorinin kalbinde yattığını tahmin etmiyordu.

1970’lerin başlarında Andrews, özdeşliklerin sonsuz bir ailesini ortaya çıkardı. “Onları keşfettim, ancak [matematikçi] Basil Gordon’un bunları benden önce yaptığını öğrendim,” diyor Andrews, “bu da benim için büyük bir hayal kırıklığıydı.”

Yeni aile, Andrews-Gordon özdeşlikleri olarak bilinmeye başladı.

Bu günden bu yana özdeşlikler tuhaf yerlerde karşımıza çıktı: temsil teorisinde, simetrik fonksiyonların çalışmalarında, hatta “sert altıgen modeli” aracılığıyla fizikte; bu model gaz atomlarının üçgen bir desen içinde bir yüzeye nasıl yerleşebileceğini açıklar.

Rogers-Ramanujan özdeşliklerinin, sıvı helyumun grafit bir levhaya döküldüğünde nasıl davrandığıyla ilgili olabileceğini kim düşünürdü? diyor Andrews.

Bir Konjektür İnşa Etmek İçin Bir Kırıklık

Yifeng Huang bir içgüdüye sahipti.

Matrisler—sayılardan oluşan küçük tablolar—döndürme ve transpoz gibi işlemler geçirebilir; ancak doğru sonucu almak için bu işlemlerin belirli bir sırada yapılması gerekir. Ancak matrislerin değerleri, işlemlerin sırasının önemli olmadığı (yani “değiştirilebilir”) şekilde seçildiğinde, matrisler koordinatlar gibi davranır ve eğrileri betimlemek için kullanılabilir. Düzgün bir eğri—parabol y = x2—alın ve y ile x‘yi birer matris çiftiyle değiştirin. Bir ders kitabı düzeyindeki problem şunu sorabilir: Denkleme uyan kaç matris çifti var? Bir matematik öğrencisi bu cevabı bulabilir.

Ancak o kadar da düzgün olmayan—içinde bir “kırıklık” bulunan, yani bir tekilliğe sahip bir eğri kullansanız ne olur? Bu durumda ders kitabı teoris çöker. Bu matris sayıları daha önce hiç incelenmemişti.

Michigan Üniversitesi’nde doktora öğrencisiyken Huang, x ve y sıfıra eşitlendiğinde keskin bir uça ulaşan y2 = x3 gibi kırık eğrilerde matris saymaya başladı. Kısa bir süre sonra, sayıları tanıdık bir formülle eşleştirdi: Rogers-Ramanujan özdeşliklerinden birinin bir ucu. “Bu keşif zaten büyüleyici” diyor Huang. “Neler olup bittiğini merak ediyorum. Bu bir tesadüf olamaz.”

Bu tek örnekten hareketle Huang, cesur ve belirsiz bir tahminde bulundu: İçindeki kırıklığın, matris sayısının düzenli bir formüle indirgediği yeni özdeşlikler gizlediği her kırık eğri için ne olurdu? Fikri daha fazla tartışmayı umarak Huang, küçük bir matematikçi grubuna—beş ile on kişi arasında—mektup yazdı.

Diğer mektup alıcılarından biri de cebirsel geometri ile düğüm teorisini birbirine bağlayan çalışmalarıyla bilinen Massachusetts Amherst Üniversitesi’nden matematikçi Alexei Oblomkov’du. “Bana göre aslında güzel bir fikirdi ve daha sonra bir konferanslardan birinde tanıştık, fikir bana daha da hoş geldi,” diyor Oblomkov.

Oblomkov geometriyi masaya getirdi. “y² = x³” eğrisindeki o sivrilik yakınlaştırıldı, diye önerdi ve dört boyutta böyle eğrilerin doğal olarak yaşadığı söylenen bir bölgeyi çok küçük bir küreyle çevrele. Eğri, kapalı bir halka boyunca bu küreyi dele geçer ve “üç-ışaklı” bir düğüm oluşturur. Her iki sayım da klasik Rogers-Ramanujan özdeşliklerine yol açar. Peki başka bir eğri? Bu da başka bir düğüme götürdü ve bu düğüm özdeşliklerin başka bir ailesini gizliyordu. Ve başka bir eğri daha da fazlasına götürdü.

Ekibin fikirleri Huang-Jiang-Oblomkov (HJO) tahmininde birleşti. Sadece ifade etmek gerekirse, 1’den büyük ve aralarında asal olan herhangi iki “a” ve “b” sayısı seçin. Tahmin, “xᵃ = yᵇ” eğrisi için matris çözümlerinin sayımının her zaman Rogers-Ramanujan türünden bir özdeşliğe indirgeneceğini öngörür. Bu da her “a” değeri için bir tane olmak kaydıyla sınırsız sayıda özdeşlik ailesine çevrilir. “a” = 2 durumu Andrews ve Gordon’un bulduğu ailedir. Bundan sonra gelen her büyük “a” değeri keşfedilmemişti. Ve her eğri kendi düğümüyle gelir: “a” = 2 ve “b” = 3 için üç-ışaklı düğüm, gerisi için ise daha karmaşıkça dolanmış torus düğümleri.

İspat

Yine Huang e-postaları göndermeye başladı—2023’te 40’tan fazla—ve bir dizi seminer sunumu yaptı.

Bu sefer Ono, Huang’dan böyle bir mektup aldığında fikri “aklı başından alan” buldu, diyor. “Bu da benim bu takipte katıldığım andı.”

Bu sırada Ono, kurduğu ilk matematikçi olarak Axiom Math adlı yapay zeka şirketine katılmıştı. O, Huang ve Axiom’dan başka bir matematikçi Kenny Lau, şirketin matematik odaklı yapay zeka sistemi AxiomProver ile yedi ay boyunca eş zamanlı çalıştı.

Yeni fikirler bu kadar yeniydi ki, Ono’ya göre, sorunu çözmek için yapay zekâ modelinden doğrudan yararlanamıyorlardı—kendisi için öğrenilebilecek bir literatür yoktu. Bunun yerine AxiomProver, bir araştırma asistanı gibi çalıştı; insan gücünün yapmasının mümkün olmayacağı kadar geniş bir fikir alanını denedi. Kanıtı aynı zamanda Lean adlı, otomatik kanıt doğrulama için makinenin anlayabileceği bir dile de çevirdi. Sonuçta, insanlar ve yapay zekâdan oluşan bu dörtlü, konjüktürü kanıtlamak için beş farklı matematik alanında birleşen fikirleri bir araya getirdi.

Ono’nun matematikte yapay zekâya bakışı, alanındaki çoğundan daha umutlu. “Herkes matematiğin sonundan söz ediyor,” diyor. “Ama bu yapıyı icat eden biri olmak zorundaydı. Yapmamız gereken de bu.”

Ekip üyeleri, HJO konjüktürünü Ağustos 2026’da ön basım sunucusu arXiv.org’a yükledi. Eylül ayında ise konjüktürün kanıtını eklediler.

Geometriye dönüştürülen eski özdeşlikler artık haritalanmamış bölgelere işaret ediyor; matematikçilerin merakla incelemek istediği sorular ortaya çıkıyor.

“Heyecan verici bir şey bulduk,” diyor Oblomkov, “geometride, trefoil düğümü olmadığı—ancak Hopf bağı olarak adlandırılan—durumda genişletmenin bir yolu; temelde iki dairenin birbirine bağlandığı bir durum. Yani bir sonraki makale bu olacak.”

Oblomkov, Fields Madalyalı Peter Scholze’in Huang’ın fikirlerinden bazılarını daha ileri taşıyan birkaç makale yayımladığını da söylüyor. Sıkışık eğriler xa = yb yalnızca başlangıç. Denklemin, Huang’a göre, “yazacağım ilk tekillik örneği”nden başka bir şey değil. Oblomkov katılıyor: “Bu yalnızca ilk durum ve çok daha fazlası gelecek.”

Scientific American Baş Editörü