Oy Verme Bir Klein Şişesi Gibi Mi?

İçeriği görüntülemek için buraya tıklayın; Google’ın Quanta’ya öncelik vermesini ve arama ile yapay zekâ sonuçlarında bilim ve matematik alanındaki en iyi kapsamlı haberleri daha sık görmesini sağlayın.

Kristina Armitage/Quanta Magazine

Matematiksel açıdan bakıldığında, demokrasi neredeyse imkânsızdır.

Bu, bir Silicon Valley milyonerinin altı saatlik podcast’inin dayanağı gibi duyulabilir; ancak aslında son derece inatçı bir soruya dair bir ifadedir: Bireylerin tercihleri bir grup halinde nasıl tek bir seçime dönüştürülür?

1785’te Fransız matematikçi ve filozof Nicolas de Condorcet, çoğunluğun bazen kendi oylarıyla mantıksal bir döngüye girebileceğini keşfetti. Üç veya daha fazla adayın bulunduğu seçimlerde her seçmen adayları son derece net ve tutarlı bir biçimde sıralayabilir; ancak tüm oylar sayıldığında, her aday rakiplerinden biriyle karşılaştırıldığı baş-başına yarışta kaybeder. Kuralları değiştirmek bizi ancak belli bir noktaya kadar götürür: Ekonomist Kenneth Arrow’ın daha sonra ispatladığı gibi, bireylerin sıralamalarını kolektif bir sıraya birleştiren herhangi bir yöntem, görünüpte makul görünen en az bir demokratik şartı kurban vermek zorundadır.

Şimdi üç araştırmacı, Condorcet’in 240 yıllık paradoksunun bir şekli olduğunu ve bunun uygun derecede tuhaf olduğunu gösterdi: İçinde ya da dışında net biçimde ayrılabilen hiçbir tarafı olmayan bir yüzey olan Klein şişesi. Bu sonuç, matematikçilere, görünüpte makul görünen kolektif karara verme kurallarının nasıl çözülemez hale gelebileceğini keşfetmek için geometrik bir yol sunar.

Herkes Birine Kaybeder

Sadece iki seçim olduğunda, halkın iradesini anlamak kolaydır: Bir eşitlik söz konusu olmadıkça, çoğunluğun tercih ettiği aday kazanır. Üçüncü bir aday eklediğinizde ise işler garipleşir. Birden, kazanmanın ne anlama geldiğine dair bile uzlaşmak bir soruna dönüşür.

Sıradan bir Amerikan seçiminde olduğu gibi, en çok oy alanı basitçe seçebilirsiniz. Ancak Alice’ın %35, Bob’un %34 ve Carol’ın %31 oy aldığını varsayın. Alice kazanır. Yine de Carol’ın destekçilerinin tamamı Bob’u Alice’a tercih ediyorsa, seçmenin %65’i Bob’u isterdi. Çoğunluğun iradesinin tamamen makul bir tanımıyla, yanlış aday kazanmış olur.

Herkesin bir kalpazanlık komplo kurmadan önce sakinleşmesi için: Her oy doğru şekilde sayılıyor. Asıl soru, kazananın ne sayılacağı.

Bir çözüm, seçmenlerden adayları sıralamalarını isteyip, ardından her rakibi birebir yarışmada yenebilecek olandan yana çıkmak olabilir. Ancak aşağıdaki senaryoyu göz önüne alın:

• Seçmenlerin üçte biri Alice’i Bob’un, Bob’u ise Carol’un önüne koyar.
• Üçte biri Bob’u Carol’un, Carol’u da Alice’in önüne koyar.
• Üçte biri Carol’u Alice’in, Alice’i de Bob’un önüne koyar.

Şimdi adayları çiftler halinde karşılaştırın:

• Alice, Bob’u yenir; çünkü ilk ve üçüncü grup Bob yerine Alice’i tercih eder.
• Bob, Carol’u yenir; çünkü ilk ve ikinci grup Carol yerine Bob’u tercih eder.
• Carol, Alice’i yenir; çünkü ikinci ve üçüncü grup Alice yerine Carol’u tercih eder.

Her seçmenin mükemmel biçimde tutarlı bir sıralaması vardır, ancak birlikte birbiri etrafında dönen bir sonuç üretmiş olurlar.

Bu, demokrasie tutkulu bir inançlı olan Condorcet’in 18. yüzyılın sonunda karşılaştığı paradokstur. Fransız Bilimler Akademisi’nin sekreteri olarak, grubun yeni üyeleri adil bir şekilde seçtiğinden emin olmanın yollarını arıyordu. Çoğundan aydınlatıcı olan Condorcet, aynı zamanda nüfusun yarısının dışlanması demokrasinin aritmetiğine de yöneldi ve 1790 tarihli bir makalede kadınların siyasi haklarını açıkça savundu. Birkaç yıl sonra, Terör Dönemi’nde, desteklediği devrim onu bir hapishane hücreine soktu; tutuklanmasından iki gün sonra ölü bulundu.

Yüzyıllar boyunca matematisyenler, politika bilimcileri ve reformcular, Condorcet’in çıkışmazlığı aşmanın umuduyla şaşırtıcı derecede çeşitli seçim sistemleri geliştirdi. Ancak her yöntemin kendi zayıf noktaları var. Sistemi değiştirirseniz, seçmenler ve tercihleri tam olarak aynı kalsa bile kazananı değiştirme ihtimaliniz yüksek.

1951’de iktisatçı Kenneth Arrow, sorunun ne kadar derinde olduğunu gösterdi. Bir seçim sisteminin, yalnızca birkaç basit demokratik koşulu karşılayacak şekilde tutarlılığını korumasını arıyordu. Oyucular adayları herhangi bir sırayla sıralayabilmeli. Tek bir oyucu, bir seçimin sonucunu tek başına belirlememeli. (Okuyun: hiçbir kral olmamalı.) Herkes bir seçeneği diğerine tercih ediyorsa, grubun sıralaması bu tercihi yansıtmalı. Ve iki adayın sıralaması, yalnızca oyucuların bu iki adayı nasıl karşılaştırdığına bağlı olmalı: Oyucular’ın Carol’u ballotlarında nereye yerleştirmesi, grubun Alice’ı Bob’un üstüne sıralayıp sıralamayacağını etkilememeli.

Her koşul tek başına yeterince makul görünüyor. Ancak Arrow, hiçbir yöntemin bunların tümünü karşılayamayacağını gösterdi. “Sık sık halkın iradesi mevcut değildir,” dedi Oxford Üniversitesi’nden Iain McLean.

Bugün bu sonuç olarak bilinen Arrow’un imkânsızlık teoremi, Condorcet paradoksunu çoğunluk kuralının ötesine taşıyarak bireysel oyların bir grup kararı içinde nasıl birleştirilebileceğine dair temel bir sınırı ortaya koydu. Farklı seçim sistemleri, Arrow’un koşullarından hangisinin başarısız olacağını değiştirebilir, ancak tek bir sistem bunların tümünü asla koruyamaz. “Bir sistem tasarımcısı olarak, başarısız olması en zararsız olan koşulu seçmek zorundasın,” dedi McLean.

1980’de bu olguyu daha iyi anlamak için matematikçi ve iktisatçı Graciela Chichilnisky, topolojiye başvurdu; topoloji, matematikte şekillerin yırtılmadan birine gerilerek diğerine dönüştürülebilmesi durumunda eşdeğer sayıldığı bir alandır. Bir dipnotunda, özellikle Condorcet paradoksunun bir topoloji problemi olarak düşünülebileceği konusunda düşünce belirtti.

Şimdi matematikçiler bu sezgisinin doğru olduğunu kanıtladı.

Bir Paradoxun Şekli

O halde, bir seçim paradoksu nasıl görünür?

Bu soruyu yanıtlamak için yeni çalışma, şu anda Illinois Üniversitesi, Urbana-Champaign’de profesör olan Yuliy Baryshnikov’un 1993’te önerdiği bir modele dayanıyor. Öncelikle, üç adaylı bir seçimde tek bir oyucunun ballotunu düşünün. Seçenekleri sıralamanın altı olası yolu var. Her biri bir üçgen ile temsil edilebilir:

Mark Belan/Quanta Magazine

Bu üçgenin her köşesi, sandığın ima ettiği karşılaştırmalardan birini temsil eder: Alice’ın Bob’dan, Bob’un Carol’dan ve Alice’ın Carol’dan üstün olması.

Alice’ı birinci, Carol’u ikinci ve Bob’u üçüncü olarak listeleyen farklı bir sandık, bu karşılaştırmalardan ikisiyle aynı görüştedir, çünkü her iki sandık da Alice’ı rakiplerinin üstüne koyar. Bu nedenle üçgenleri iki köşede paylaşır ve onları birleştiren kenar boyunca birleştirilebilirler.

Şimdi altı üçgenin (tüm olası sandıkları temsil eden) eşleşkenarları boyunca birleştirin. Bir şerit elde edersiniz:

İki ucundaki kenarlar da eşleşir. Bu nedenle şeridi büküp bu kenarları birleştirin ve etiketleri eşleştirin. Her iki ucunda da bir açıklık olan bir tüp elde edersiniz:

Baryshnikov bu modeli kullanarak Arrow’un imkânsızlık teoremine yeni bir topolojik kanıt verdi.

Ama tüpün her iki ucunda ne olduğuna bakın. Bir kenarlık etrafında karşılaştırmalar Alice’ın Bob’dan, Bob’un Carol’dan ve Carol’un Alice’dan üstün olması şeklinde okunur. Diğerinde ise döngü tersine işler.

Karşımıza Condorcet’in döngüsel paradoksları çıkıyor — döngüler içinde ilerleyen seçim sonuçları. Baryshnikov bu kenarlıkları görmezden gelmişti. Ancak 30 yıl sonra, Nisan 2025’te Sidney Üniversitesi’nde doktora öğrencisi olan Ori Livson bunları yeniden değerlendirdi. Zaten bazen böyle döngüsel ilişkilere izin verilir, tıpkı taş-kağıt-makas kurallarında olduğu gibi. Sorun, bu ilişkilerin tutarlı bir sıralama oluşturması beklendiği seçimler gibi durumlarda ortaya çıkıyor. Livson, döngülerin izin verildiği durumlarla izin verilmediği durumları ayırt edebilecek bir topolojik model istiyordu.

Birlikte danışmanı Mikhail Prokopenko ve Prokopenko’nun uzun yıllardaki arkadaşı Chennai Matematik Enstitüsü’nden Siddharth Pritam ile zorlu durumu modellemeye koyuldular.

Tüpün kenarlıklarındaki her döngü aynı imkânsız sonuca götürür: Her aday, diğerlerinin üstündedir. Bu anlamda her iki kenarlık da aynı şeyi söylüyor. Ve topolojide, “bir şeyin aynı olduğunu fark ettiğinizde, onları birleştirebilirsiniz,” dedi Livson.

O halde kenarlıkları nasıl birleştirmelisiniz?

Peki bu durumda demokrasi nerede kalıyor?

Topoloji, bu paradoksu somutlaştırır, ancak bir seçim sistemi seçmek yine kendi zehrinizi seçmek anlamına gelir. Matematik, bize bu ödünleşimlerin ne içerdiğini söyleyebilir. Önceliklerimiz, hangi ödünleşimlerin yapmaya değer olduğunu belirler. Ve işte bu, hiçbir teoremin bizim yerimize karıştıramayacağı bir konudur. “Bu gerçekten matematiksel bir tartışma değil,” diyor McLean. “Değerler üzerine bir tartışma.”